设 $f\left(x\right) = \dfrac{{{{\mathrm{e}}^x}}}{{1 + a{x^2}}}$，其中 $a$ 为正实数．
【难度】
【出处】
2011年高考安徽卷（理）
【标注】
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当 $a$ $ = \dfrac{4}{3}$ 时，求 $f\left(x\right)$ 的极值点；标注答案解析对 $f\left(x\right)$ 求导得\[f'\left(x\right) = {{\mathrm{e}}^x}\dfrac{{1 + a{x^2} - 2ax}}{{{{\left(1 + a{x^2}\right)}^2}}}. \quad \cdots \cdots ① \]当 $a = \dfrac{4}{3}$ 时，若 $f'\left(x\right) = 0$，则\[4{x^2} - 8x + 3 = 0,\]解得\[{x_1} = \dfrac{3}{2},{x_2} = \dfrac{1}{2}.\]结合 $ ① $，可知\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline
x & \left(-\infty , \frac 1 2\right) & \frac 1 2 & \left( \frac 1 2 , \frac 3 2\right) & \frac 3 2 & \left( \frac 3 2 , +\infty \right) \\ \hline
f'\left(x\right) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline
f\left(x\right) & ↗ & 极大值 & ↘ & 极小值 & ↗ \\ \hline
\end{array}\]所以，$x= \dfrac{3}{2}$ 是极小值点，$x= \dfrac{1}{2}$ 是极大值点． -
若 $f\left(x\right)$ 为 ${\mathbb{R}}$ 上的单调函数，求 $a$ 的取值范围．标注答案解析若 $f\left(x\right)$ 为 ${\mathbb{R}}$ 上的单调函数，则 $f'\left(x\right)$ 在 ${\mathbb{R}}$ 上不变号，
结合 $ ① $ 与条件 $a > 0$，知 $a{x^2} - 2ax + 1 \geqslant 0$ 在 ${\mathbb{R}}$ 上恒成立，因此\[\Delta = 4{a^2} - 4a = 4a\left(a - 1\right) \leqslant 0,\]由此并结合 $a > 0$，知\[0 < a \leqslant 1.\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
