设 $f\left(x\right) = a\ln x + \dfrac{1}{2x} + \dfrac{3}{2}x + 1$，其中 $a \in {\mathbb{R}}$，曲线 $y = f\left(x\right)$ 在点 $\left(1 , f\left(1\right)\right)$ 处的切线垂直于 $y$ 轴．
【难度】
【出处】
2012年高考重庆卷（理）
【标注】
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求 $a$ 的值；标注答案解析因 $f\left( x \right) = a\ln x + \dfrac{1}{2x} + \dfrac{3}{2}x + 1$，故\[f'\left( x \right) = \dfrac{a}{x} - \dfrac{1}{{2{x^2}}} + \dfrac{3}{2},\]由于曲线 $ y=f\left( x \right)$ 在点 $\left( {1,f\left( 1 \right)} \right)$ 处的切线垂直于 $y$ 轴，故该切线斜率为 $0$，即\[f'\left( 1 \right) = 0,\]从而\[a - \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2} = 0,\]解得 $a = - 1$．
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求函数 $f\left(x\right)$ 的极值．标注答案解析由（1）知\[\begin{split}f\left( x \right)& = - \ln x + \dfrac{1}{2x} + \dfrac{3}{2}x + 1\left( {x > 0} \right),\\
f'\left( x \right)& = - \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{2{x^2}}} + \dfrac{3}{2}\\
& = \dfrac{{3{x^2} - 2x - 1}}{{2{x^2}}}\\
&= \dfrac{{\left( {3x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{2{x^2}}}.\end{split}\]令 $f'\left( x \right) = 0$，解得\[{x_1} = 1,{x_2} = - \dfrac{1}{3}\]（因 ${x_2} = - \dfrac{1}{3}$ 不在定义域内，舍去）．
当 $x \in \left( {0,1} \right)$ 时，$f'\left( x \right) < 0$，故 $f\left( x \right)$ 在 $\left( {0,1} \right)$ 上为减函数；
当 $x \in \left( {1, + \infty } \right)$ 时，$f'\left( x \right) > 0$，故 $f\left( x \right)$ 在 $\left( {1, + \infty } \right)$ 上为增函数．
故 $f\left( x \right)$ 在 $x = 1$ 处取得极小值 $f\left( 1 \right) = 3$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
