\[\begin{split}f\left( x \right) &= 4\left( {\dfrac{\sqrt 3 }{2}\cos \omega x + \dfrac{1}{2}\sin \omega x} \right)\sin \omega x + \cos 2\omega x\\
&= 2\sqrt 3 \sin \omega x\cos \omega x + 2{\sin ^2}\omega x + {\cos ^2}\omega x - {\sin ^2}\omega x\\
&= \sqrt 3 \sin 2\omega x + 1,\end{split}\]因\[ - 1 \leqslant \sin 2\omega x \leqslant 1,\]所以函数 $y = f\left( x \right)$ 的值域为 $\left[ {1 - \sqrt 3 ,1 + \sqrt 3 } \right]$．

因 $y = \sin x$ 在每个闭区间 $\left[ {2k{\mathrm \pi } - \dfrac{\mathrm \pi }{2},2k{\mathrm \pi } + \dfrac{\mathrm \pi }{2}} \right]\left( {k \in {\mathbb{Z}}} \right)$ 上为增函数，
故 $f\left( x \right) = \sqrt 3 \sin 2\omega x + 1\left( {\omega > 0} \right)$ 在每个闭区间 $\left[ {\dfrac{{k{\mathrm \pi }}}{\omega } - \dfrac{\mathrm \pi }{4\omega },\dfrac{{k{\mathrm \pi }}}{\omega } + \dfrac{\mathrm \pi }{4\omega }} \right]\left( {k \in {\mathbb{Z}}} \right)$ 上为增函数．
依题意知\[\left[ { - \dfrac{{3{\mathrm \pi }}}{2},\dfrac{\mathrm \pi }{2}} \right] \subseteq \left[ {\dfrac{{k{\mathrm \pi }}}{\omega } - \dfrac{\mathrm \pi }{4\omega },\dfrac{{k{\mathrm \pi }}}{\omega } + \dfrac{\mathrm \pi }{4\omega }} \right],\]对某个 $k \in {\mathbb{Z}}$ 成立，此时必有 $k = 0$，于是\[{\begin{cases}
- \dfrac{{3{\mathrm \pi }}}{2} \geqslant - \dfrac{\mathrm \pi }{4\omega }, \\\dfrac{\mathrm \pi }{2} \leqslant \dfrac{\mathrm \pi }{4\omega },\\
\end{cases}}\]解得 $\omega \leqslant \dfrac{1}{6}$，故 $\omega $ 的最大值为 $\dfrac{1}{6}$．