由已知得，交点 $A$ 的坐标为 $\left( {\sqrt {\dfrac{a^n}{2}},0} \right)$，对 $y = - {x^2} + \dfrac{1}{2}{a^n}$ 求导得\[y' = - 2x,\]则抛物线在点 $A$ 处的切线方程为\[y = - \sqrt {2{a^n}} \left( {x - \sqrt {\dfrac{a^n}{2}} } \right),\]即\[y = - \sqrt {2{a^n}} x + {a^n}.\]则 $f\left( n \right) = {a^n}$．

由（1）知 $f\left( n \right) = {a^n}$，则\[\dfrac{f\left( n \right) - 1}{f\left( n \right) + 1} \geqslant \dfrac{n^3}{{{n^3} + 1}}\]成立的充要条件是\[{a^n} \geqslant 2{n^3} + 1.\]即知，${a^n} \geqslant 2{n^3} + 1$ 对所有 $n$ 成立，特别地，取 $n = 2$ 得到 $a \geqslant \sqrt {17} $．
当 $a = \sqrt {17},n \geqslant 3$ 时，\[\begin{split}{a^n} > {4^n} = {\left( {1 + 3} \right)^n} &= 1 + {\mathrm{C}}_n^1 \cdot 3 + {\mathrm{C}}_n^2 \cdot {3^2} + {\mathrm{C}}_n^3 \cdot {3^3} + \cdots \\
& \geqslant 1 + {\mathrm{C}}_n^1 \cdot 3 + {\mathrm{C}}_n^2 \cdot {3^2} + {\mathrm{C}}_n^3 \cdot {3^3} \\
&= 1 + 2{n^3} + \dfrac{1}{2}n\left[ {5{{\left( {n - 2} \right)}^2} + \left( {2n - 5} \right)} \right] \\& > 2{n^3} + 1. \end{split}\]当 $n = 0,1,2$ 时，显然\[{\left( {\sqrt {17} } \right)^n} \geqslant 2{n^3} + 1.\]故 $a = \sqrt {17} $ 时，$\dfrac{f\left( n \right) - 1}{f\left( n \right) + 1} \geqslant \dfrac{n^3}{{{n^3} + 1}}$ 对所有自然数 $n$ 都成立．
所以满足条件的 $a$ 的最小值为 $\sqrt {17} $．

由（1）知 $f\left( k \right) = {a^k}$，则\[\begin{split}\sum\limits_{k = 1}^n {\dfrac{1}{{f\left( k \right) - f\left( {2k} \right)}}} &= \sum\limits_{k = 1}^n {\dfrac{1}{{{a^k} - {a^{2k}}}}} ,\\ \dfrac{f\left( 1 \right) - f\left( n \right)}{f\left( 0 \right) - f\left( 1 \right)} &= \dfrac{{a - {a^n}}}{1 - a}. \end{split}\]下面证明：\[\sum\limits_{k = 1}^n {\dfrac{1}{{f\left( k \right) - f\left( {2k} \right)}} > \dfrac{27}{4} \cdot \dfrac{f\left( 1 \right) - f\left( n \right)}{f\left( 0 \right) - f\left( 1 \right)}} .\]首先证明：当 $0 < x < 1$ 时，$\dfrac{1}{{x - {x^2}}} \geqslant \dfrac{27}{4}x$．
设函数 $g\left( x \right) = \dfrac{27}{4}x\left( {{x^2} - x} \right) + 1,0 < x < 1$，则\[g'\left( x \right) = \dfrac{81}{4}x\left( {x - \dfrac{2}{3}} \right).\]当 $0 < x < \dfrac{2}{3}$ 时，$g'\left( x \right) < 0$；当 $\dfrac{2}{3} < x < 1$ 时，$g'\left( x \right) > 0$．
故 $g\left( x \right)$ 在区间 $\left( {0,1} \right)$ 上的最小值\[g{\left( x \right)_{\min }} = g\left( {\dfrac{2}{3}} \right) = 0.\]所以，当 $0 < x < 1$ 时，$g\left( x \right) \geqslant 0$，即得\[\dfrac{1}{{x - {x^2}}} \geqslant \dfrac{27}{4}x.\]由 $0 < a < 1$ 知 $0 < {a^k} < 1\left( {k \in {\mathbb{N}}^*} \right)$，因此\[\dfrac{1}{{{a^k} - {a^{2k}}}} \geqslant \dfrac{27}{4}{a^k},\]从而\[ \begin{split}\sum \limits_{k = 1}^n {\dfrac{1}{f\left( k\right) - f\left(2k\right)}} & = \sum \limits_{k = 1}^n{\dfrac{1}{{a^k} - {a^{2k}}}} \\& \geqslant \dfrac{27}{4}\sum\limits_{k = 1}^n {a^k} \\
& = \dfrac{27}{4} \cdot \dfrac{{a - {a^{n + 1}}}}{1 - a}\\
& > \dfrac{27}{4} \cdot \dfrac{{a - {a^n}}}{1 - a}\\
&= \dfrac{27}{4} \cdot \dfrac{f\left( 1\right) - f\left(n\right)}{f\left(0\right) - f\left( 1\right)}.\end{split} \]