已知等比数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的公比为 $q = - \dfrac{1}{2}$．
【难度】
【出处】
2012年高考陕西卷（文）
【标注】
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若 ${a_3} = \dfrac{1}{4}$，求数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的前 $n$ 项和；标注答案解析由 ${a_3} = {a_1}{q^2} = \dfrac{1}{4}$ 及 $q = - \dfrac{1}{2}$，得 ${a_1} = 1$，
所以数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的前 $n$ 项和\[\begin{split}{S_n} &= \frac{{1 \times \left[ {1 - {{\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)}^n}} \right]}}{{1 - \left( { - \dfrac{1}{2}} \right)}} \\&= \frac{{2 + {{\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)}^{n - 1}}}}{3}.\end{split}\] -
证明：对任意 $k \in {{\mathbb{N}}_ + }$，${a_k}$，${a_{k + 2}}$，${a_{k + 1}}$ 成等差数列．标注答案解析对任意 $k \in {{\mathbb{N}}_ + }$，\[\begin{split}2{a_{k + 2}} - \left( {{a_k} + {a_{k + 1}}} \right)&= 2{a_1}{q^{k + 1}} - \left( {{a_1}{q^{k - 1}} + {a_1}{q^k}} \right) \\&= {a_1}{q^{k - 1}}\left( {2{q^2} - q - 1} \right),\end{split}\]由 $q = - \dfrac{1}{2}$，得\[2{q^2} - q - 1 = 0,\]故\[2{a_{k + 2}} - \left( {{a_k} + {a_{k + 1}}} \right) = 0.\]所以，对任意 $k \in {{\mathbb{N}}_ + }$，${a_k}$，${a_{k + 2}}$，${a_{k + 1}}$ 成等差数列．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
