已知等差数列 $\left\{ {a_n}\right\} $ 的前 $ 5 $ 项和为 $ 105 $，且 ${a_{10}} = 2{a_5}$．
【难度】
【出处】
2012年高考山东卷（文）
【标注】
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求数列 $\left\{ {a_n}\right\} $ 的通项公式；标注答案解析设等差数列 $\left\{ {a_n}\right\} $ 的公差为 $ d$．
由已知得\[{\begin{cases}
5{a_1} + 10d = 105, \\
{a_1} + 9d = 2\left({a_1} + 4d\right), \\
\end{cases}}\]解得 ${a_1} = 7$，$d = 7$，所以通项公式为\[\begin{split}{a_n} &= 7 + \left(n - 1\right) \cdot 7\\& = 7n.\end{split}\] -
对任意 $m \in {{\mathbb{N}}^*}$，将数列 $\left\{ {a_n}\right\} $ 中不大于 ${7^{2m}}$ 的项的个数记为 ${b_m}$．求数列 $\left\{ {b_m}\right\} $ 的前 $ m $ 项和 ${S_m}$．标注答案解析由 ${a_n} = 7n \leqslant {7^{2m}}$，得 $n \leqslant {7^{2m - 1}}$，即\[{b_m} = {7^{2m - 1}},\]所以\[\dfrac{{{b_{m + 1}}}}{b_m} = \dfrac{{{7^{2m + 1}}}}{{{7^{2m - 1}}}} = 49,\]故 $\left\{ {b_m}\right\} $ 是公比为 $ 49 $ 的等比数列，因此\[{S_m} = \dfrac{{7\left(1 - {{49}^m}\right)}}{1 - 49} = \dfrac{7}{48}\left({49^m} - 1\right).\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
