已知曲线 $C:\left( {5 - m} \right){x^2} + \left( {m - 2} \right){y^2} = 8\left( {m \in {\mathbb{R}}} \right)$．
【难度】
【出处】
2012年高考北京卷（理）
【标注】
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若曲线 $C$ 是焦点在 $x$ 轴上的椭圆，求 $m$ 的取值范围；标注答案解析原曲线方程可化简得\[\dfrac{x^2}{{\dfrac{8}{5 - m}}} + \dfrac{y^2}{{\dfrac{8}{m - 2}}} = 1.\]由题意可得\[\begin{cases}
\dfrac{8}{5 - m} > \dfrac{8}{m - 2}, \\
\dfrac{8}{5 - m} > 0, \\
\dfrac{8}{m - 2} > 0 ,\\
\end{cases}\]解得\[\dfrac{7}{2} < m < 5,\]所以 $m $ 的取值范围是 $\left(\dfrac{7}{2},5 \right)$． -
设 $m = 4$，曲线 $C$ 与 $y$ 轴的交点为 $A,B$（点 $A$ 位于点 $B$ 的上方），直线 $y = kx + 4$ 与曲线 $C$ 交于不同的两点 $M,N$，直线 $y = 1$ 与直线 $BM$ 交于点 $G$．求证：$A,G,N$ 三点共线．标注答案解析由已知直线方程代入椭圆方程化简得\[\left(2{k^2} + 1\right){x^2} + 16kx + 24 = 0,\]结合直线与椭圆交于不同两点知\[\Delta = 32\left(2{k^2} - 3\right),\]解得 ${k^2} > \dfrac{3}{2}$，设 $N\left({x_N} , k {x_N} + 4\right) , M\left({x_M} , k{x_M} + 4\right) , G\left({x_G},1\right)$，
由韦达定理得\[\begin{split}{x_M} + {x_N} &= -\dfrac{16k}{{2{k^2} + 1}}, \quad \cdots \cdots ① \\ {x_M}{x_N} &= \dfrac{24}{{2{k^2} + 1}}, \quad \cdots \cdots ② \end{split}\]可知 $MB$ 方程为\[y = \dfrac{{k{x_M} + 6}}{x_M}x - 2,\]则 $G\left( {\dfrac{{3{x_M}}}{{k{x_M} + 6}},1} \right)$，故\[\begin{split}\overrightarrow {AG} & = \left( {\dfrac{{3{x_M}}}{{{x_M}k + 6}}, - 1} \right) , \\ \overrightarrow {AN} & = \left( {{x_N},{x_N}k + 2} \right).\end{split}\]欲证 $A,G,N$ 三点共线，只需证 $\overrightarrow {AG} , \overrightarrow {AN} $ 共线，即\[\dfrac{{3{x_M}}}{{{x_M}k + 6}}\left({x_N}k + 2\right) = - {x_N},\]成立，化简得\[\left(3k + k\right){x_M}{x_N} = - 6\left({x_M} + {x_N}\right),\]将 $ ①② $ 代入易知等式成立，则 $A,G,N$ 三点共线得证．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
