已知复数 ${z_1}$ 满足 $\left({z_1} - 2\right)\left(1 + {\mathrm{i}}\right) = 1 - {\mathrm{i}}$（${\mathrm{i}}$ 为虚数单位），复数 ${z_2}$ 的虚部为 $ 2 $，且 ${z_1} \cdot {z_2}$ 是实数，求 ${z_2}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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标注答案解析由 $\left({z_1} - 2\right)\left(1 + {\mathrm{i}}\right) = 1 -{\mathrm{ i}}$ 得\[{z_1} - 2 + {z_1}{\rm{i}} - 2{\rm{i}} = 1 - {\rm{i}},\]所以\[{z_1} = \dfrac{{3 + {\rm{i}}}}{{1 + {\rm{i}}}} = \dfrac{{\left( {3 + {\rm{i}}} \right)\left( {1 - {\rm{i}}} \right)}}{2} = 2 - {\rm{i}},\]所以\[{z_1} = 2 - {\rm{i}}.\]设 ${z_2} = a + 2{\rm{i}},a \in {\mathbb{R}}$，则\[\begin{split}{z_1}{z_2} &= \left(2 - {\rm{i}}\right)\left(a + 2{\rm{i}}\right) \\&= \left(2a + 2\right) + \left(4 - a\right){\rm{i}},\end{split}\]因为 ${z_1}{z_2} \in {\mathbb{R}}$，所以 $4 - a = 0$，$a = 4$，\[{z_2} = 4 + 2{\rm{i}}.\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
