已知数列 $\left\{ {a_n}\right\} $ 和 $\left\{ {b_n}\right\} $ 的通项公式分别为 ${a_n} = 3n + 6$，${b_n} = 2n + 7 \left(n \in {{\mathbb{N}}^ * } \right) $．将集合 $ \left\{ x \left|\right. x = {a_n},n \in {\mathbb{N}}^* \right\} \cup \left\{ x \left|\right. x = {b_n},n \in {\mathbb{N}}^* \right\} $ 中的元素从小到大依次排列，构成数列 ${c_1},{c_2},{c_3}, \cdots ,{c_n}, \cdots $．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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写出 ${c_1},{c_2},{c_3},{c_4}$；标注答案解析\[{c_1} = 9,{c_2} = 11,{c_3} = 12,{c_4} = 13.\]
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求证：在数列 $\left\{ {c_n}\right\} $ 中，但不在数列 $\left\{ {{b_n}} \right\}$ 中的项恰为 ${a_2},{a_4}, \cdots ,{a_{2n}}, \cdots $；标注答案解析① 任意 $n \in {{\mathbb{N}}^ * }$，设\[\begin{split}{a_{2n - 1}} & = 3\left(2n - 1\right) + 6 \\& = 6n + 3 \\& = {b_k} = 2k + 7,\end{split}\]则 $k = 3n - 2$，即\[{a_{2n - 1}} = {b_{3n - 2}}.\]② 假设 ${a_{2n}} = 6n + 6 = {b_k} = 2k + 7$，则 $k = 3n - \dfrac{1}{2} \in {{\mathbb{N}}^* }$（矛盾），所以\[{a_{2n}} \notin \left\{ {b_n}\right\} .\]所以在数列 $\left\{ {c_n}\right\} $ 中，但不在数列 $\left\{ {b_n}\right\} $ 中的项恰为 ${a_2},{a_4}, \cdots ,{a_{2n}}, \cdots $．
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求数列 $\left\{ {c_n}\right\} $ 的通项公式．标注答案解析\[\begin{split}{b_{3k - 2}} & = 2\left(3k - 2\right) + 7 \\& = 6k + 3 \\& = {a_{2k - 1}}, \\ {b_{3k - 1}} & = 6k + 5, \\ {a_{2k}} & = 6k + 6,\\ {b_{3k}} & = 6k + 7.\end{split}\]因为\[6k + 3 < 6k + 5 < 6k + 6 < 6k + 7,\]所以当 $k = 1$ 时，依次有\[{b_1} = {a_1} = {c_1},{b_2} = {c_2},{a_2} = {c_3},{b_3} = {c_4},\cdots ,\]所以\[{c_n} = \begin{cases}{6k + 3,} &{\left(n = 4k - 3\right)} , \\
{6k + 5,} &{\left(n = 4k - 2\right)}, \\
{6k + 6,} &{\left(n = 4k - 1\right)},\\
{6k + 7,} &\left(n = 4k\right), \end{cases}\left( k \in {\mathbb{N}}^*\right).\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
