题目 已知数列 $ \left\{a_n\right\} $ 的前 $ n $ 项和 $ S_n=-{\dfrac{1}{2}}n^2+kn$（其中 $ k\in {\mathbb{N}} _+$），且 $ S_n $ 的最大值为 $ 8 $． 问题1 确定常数 $ k $，并求 $ a_n $； 答案1 解析1 当 $ n=k\in {\mathbb{N}}_+$ 时，$ S_n=-{\dfrac{1}{2}}n^2+kn $ 取最大值，即\[ 8=S_k=-{\dfrac{1}{2}}k^2+k^2={\dfrac{1}{2}}k^2 ,\]故 $ k^2=16 $，因此 $ k=4 $，从而\[ a_n=S_n-S_{n-1}={\dfrac{9}{2}}-n\left(n\geqslant 2\right) .\]又 $ a_1=S_1={\dfrac{7}{2}} $，所以 $ a_n={\dfrac{9}{2}}-n $． 备注1 问题2 求数列 $ \left\{\dfrac{9-2a_n}{2^n}\right\} $ 的前 $ n $ 项和 $ T_n $． 答案2 解析2 设 $ b_n=\dfrac{9-2a_n}{2^n} $，则 $b_n={\dfrac{9-2a_n}{2^n}}={\dfrac{n}{2^{n-1}}} $，所以\[\begin{split} T_n&=\dfrac 1{2^0}+{\dfrac{2}{2^1}}+{\dfrac{3}{2^2}}+\cdots+{\dfrac{n-1}{2^{n-2}}}+{\dfrac{n}{2^{n-1}}},\\ \dfrac 12 T_n&= \dfrac 1{2^1}+{\dfrac{2}{2^2}}+{\dfrac{3}{2^3}}+\cdots+{\dfrac{n-1}{2^{n-1}}}+{\dfrac{n}{2^{n}}},\end{split}\]两式相减，得\[ \begin{split}\dfrac 12T_n &=1+{\dfrac{1}{2}}+\cdots+{\dfrac{1}{2^{n-1}}}-{\dfrac{n}{2^{n}}}\\&=2-{\dfrac{n+2}{2^{n}}}.\end{split} \]所以\[T_n=4-\dfrac{n+2}{2^{n-1}}. \] 备注2