已知函数 $ f\left(x\right)=\left(x-a\right)^2\left(x-b\right)\left(a,b\in {\mathbb{R}},a<b\right) $．
【难度】
【出处】
2010年高考浙江卷（文）
【标注】
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当 $ a=1 $，$ b=2 $ 时，求曲线 $ y=f\left(x\right) $ 在点 $ \left(2,f\left(2\right)\right) $ 处的切线方程；标注答案解析当 $ a=1 $，$ b=2 $ 时，因为 $f'\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(3x-5\right)$，故 $f '\left(2\right)=1$．
又 $f\left(2\right)=0$，所以 $ f\left(x\right)$ 在点 $\left(2,0\right)$ 处的切线方程为 $ y=x-2$． -
设 $ x_1 $，$ x_2 $ 是 $ f\left(x\right) $ 的两个极值点，$ x_3 $ 是 $ f\left(x\right) $ 的一个零点，且 $ x_3\neq x_1 $，$ x_3\neq x_2 $．证明：存在实数 $ x_4 $，使得 $ x_1 $，$ x_2 $，$ x_3 $，$ x_4 $ 按某种顺序排列后构成等差数列，并求 $ x_4 $．标注答案解析因为\[f'\left(x\right)=3\left(x-a\right)\left( x-{\dfrac{a+2b}{3}}\right) ,\]由于 $ a<b$，故\[a<{\dfrac{a+2b}{3}},\]所以 $f\left(x\right)$ 的两个极值点为\[x=a,x={\dfrac{a+2b}{3}}.\]不妨设 $x_1=a$，$x_2={\dfrac{a+2b}{3}}$，因为 $x_3\neq x_1$，$x_3\neq x_2$，且 $x_3$ 是 $f\left(x\right)$ 的零点，故 $x_3=b.$
又因为\[{\dfrac{a+2b}{3}}-a=2\left( b-{\dfrac{a+2b}{3}}\right) ,x_4={\dfrac{1}{2}} \left(a+{\dfrac{a+2b}{3}}\right) ={\dfrac{2a+b}{3}},\]此时 $ a $，${\dfrac{2a+b}{3}}$，${\dfrac{a+2b}{3}}$，$b$ 依次成等差数列，所以存在实数 $ x_4 $ 满足题意，且 $ x_4={\dfrac{2a+b}{3}} .$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
