对任意 $ n\in {\mathbb{N}}^* $，三个数 $ A\left(n\right),B\left(n\right),C\left(n\right) $ 成等差数列，所以\[ B\left(n\right)-A\left(n\right)=C\left(n\right)-B\left(n\right), \]即\[ a_{n+1}-a_1=a_{n+2}-a_2, \]亦即\[ a_{n+2}-a_{n+1}=a_2-a_1=4. \]故数列 $ \left\{a_n\right\} $ 是首项为 $ 1 $，公差为 $ 4 $ 的等差数列．于是\[ a_n=1+\left(n-1\right)\times 4=4n-3. \]

（1）必要性：若数列 $ \left\{a_n\right\} $ 是公比为 $ q $ 的等比数列，
则对任意 $ n\in {\mathbb{N}}^* $，有 $ a_{n+1}=a_nq $，由 $ a_n>0 $ 知，$ A\left(n\right),B\left(n\right),C\left(n\right) $ 均大于 $ 0 $，于是\[\begin{split} {\dfrac{B\left(n\right)}{A\left(n\right)}}&={\dfrac{a_2+a_3+\ldots +a_{n+1}}{a_1+a_2+\cdots+a_n}}={\dfrac{q\left(a_1+a_2+\cdots+a_n\right)}{a_1+a_2+\cdots+a_n}}=q,\\ {\dfrac{C\left(n\right)}{B\left(n\right)}}&={\dfrac{a_3+a_4+\cdots+a_{n+2}}{a_2+a_3+\cdots+a_{n+1}}}={\dfrac{q\left(a_2+a_3+\cdots+a_{n+1}\right)}{a_2+a_3+\cdots+a_{n+1}}}=q, \end{split}\]即\[ {\dfrac{B\left(n\right)}{A\left(n\right)}}={\dfrac{C\left(n\right)}{B\left(n\right)}}=q. \]所以三个数 $ A\left(n\right),B\left(n\right),C\left(n\right) $ 组成公比为 $ q $ 的等比数列．
（2）充分性：若对任意 $ n\in {\mathbb{N}}^* $，三个数 $ A\left(n\right),B\left(n\right),C\left(n\right) $ 组成公比为 $ q $ 的等比数列，则\[ B\left(n\right)=qA\left(n\right),C\left(n\right)=qB\left(n\right). \]于是\[ C\left(n\right)-B\left(n\right)=q \left[B\left(n\right)-A\left(n\right)\right] ,\]得\[ a_{n+2}-a_2=q\left(a_{n+1}-a_1\right), \]即\[ a_{n+2}-qa_{n+1}=a_2-qa_1. \]由 $ n=1 $ 有 $ B\left(1\right)=qA\left(1\right) $，即 $a_2=qa_1$，从而\[ a_{n+2}-qa_{n+1}=0. \]因为 $ a_n>0 $，所以\[ {\dfrac{a_{n+2}}{a_{n+1}}}={\dfrac{a_2}{a_1}}=q. \]故数列 $ \left\{a_n\right\} $ 是首项为 $ a_1 $，公比为 $ q $ 的等比数列．
综上所述，数列 $ \left\{a_n\right\} $ 是公比为 $ q $ 的等比数列的充分必要条件是：对任意 $ n\in {\mathbb{N}}^* $，三个数 $ A\left(n\right),B\left(n\right),C\left(n\right) $ 组成公比为 $ q $ 的等比数列．