某企业接到生产 $ 3 000 $ 台某产品的 $ A$，$B$，$C $ 三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为 $ 2$，$2$，$1 $（单位：件）．已知每个工人每天可生产 $ A $ 部件 $ 6 $ 件，或 $ B $ 部件 $ 3 $ 件，或 $ C $ 部件 $ 2 $ 件，该企业计划安排 $ 200 $ 名工人分成三组分别生产这三 种部件，生产 $ B $ 部件的人数与生产 $ A $ 部件的人数成正比，比例系数为 $ k $（$ k $ 为正整数）．
【难度】
【出处】
2012年高考湖南卷（理）
【标注】
-
设生产 $ A $ 部件的人数为 $ x $，分别写出完成 $ A$，$B$，$C $ 三种部件生产需要的时间；标注答案解析设完成 $ A$，$B$，$C $ 三种部件的生产任务需要的时间（单位：天），
分别为 $ T_1\left(x\right)$，$T_2\left(x\right)$，$T_3\left(x\right) $，由题设有\[ \begin{split}T_1\left(x\right)&={\dfrac{2\times 3 000}{6x}}={\dfrac{1 000}{x}},\\ T_2\left(x\right)&=\dfrac{2\times3000}{3kx}={\dfrac{2 000}{kx}},\\ T_3\left(x\right)&={\dfrac{1 500}{200-\left(1+k\right)x}},\end{split} \]其中 $ x$，$kx$，$200-\left(1+k\right)x $ 均为 $ 1 $ 到 $ 200 $ 之间的正整数． -
假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数 $ k $ 的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案．标注答案解析完成订单任务的时间为 $ f\left(x\right)=\max\limits \left\{T_1\left(x\right),T_2\left(x\right),T_3\left(x\right)\right\} $，其定义域为\[ \left\{x \left|\right.0<x<{\dfrac{200}{1+k}},x\in {\mathbb{N}}^*\right\} .\]易知，$ T_1\left(x\right)$，$T_2\left(x\right) $ 为减函数，$ T_3\left(x\right) $ 为增函数，注意到 $ T_2\left(x\right)={\dfrac{2}{k}}T_1\left(x\right) $，于是
① 当 $ k=2 $ 时，$ T_1\left(x\right)=T_2\left(x\right) $，此时\[ \begin{split} f\left(x\right)=\max\limits \left\{T_1\left(x\right),T_3\left(x\right) \right\} =\max\limits \left\{\dfrac{1 000}{x},\dfrac{1 500}{200-3x}\right\}.\end{split} \]由函数 $ T_1\left(x\right)$，$T_3\left(x\right) $ 的单调性知，
当 $ {\dfrac{1 000}{x}}={\dfrac{1 500}{200-3x}} $ 时，$ f\left(x\right) $ 取得最小值，解得\[ x={\dfrac{400}{9}}. \]由于 $ 44<{\dfrac{400}{9}}<45 $，而\[ \begin{split} f\left(44\right)&=T_1\left(44\right)={\dfrac{250}{11}},\\f\left(45\right)&=T_3\left(45\right)={\dfrac{300}{13}}, \end{split}\]因此 $f\left(44\right)<f\left(45\right)$，故当 $ x=44 $ 时完成订单任务的时间最短，且最短时间为\[ f\left(44\right)={\dfrac{250}{11}}.\]② 当 $ k>2 $ 时，$ T_1\left(x\right)>T_2\left(x\right)$，由于 $ k $ 为正整数，故 $ k\geqslant 3 $，此时\[ {\dfrac{1 500}{200-\left(1+k\right)x}}\geqslant {\dfrac{1 500}{200-\left(1+3\right)x}}={\dfrac{375}{50-x}}. \]记\[ \begin{split}T\left(x\right)&={\dfrac{375}{50-x}},\\ \varphi \left(x\right)&=\max\limits \left\{T_1\left(x\right),T\left(x\right)\right\},\end{split}\]易知 $ T\left(x\right) $ 是增函数，则\[ \begin{split}f\left(x\right) &=\max\limits \left\{T_1\left(x\right),T_3\left(x\right)\right\}\\& \geqslant \max\limits \left\{T_1\left(x\right),T\left(x\right)\right\}\\&=\varphi \left(x\right)\\&=\max\limits \left\{{\dfrac{1 000}{x}},{\dfrac{375}{50-x}}\right\} .\end{split} \]由函数 $ T_1\left(x\right),T\left(x\right) $ 的单调性知，当 $ {\dfrac{1 000}{x}}={\dfrac{375}{50-x}} $ 时，
$ \varphi \left(x\right) $ 取最小值，解得\[ x={\dfrac{400}{11}}. \]由于 $ 36<{\dfrac{400}{11}}<37 $，而\[ \varphi \left(36\right)=T_1\left(36\right)={\dfrac{250}{9}}>{\dfrac{250}{11}},\\ \varphi \left(37\right)=T\left(37\right)={\dfrac{375}{13}}>{\dfrac{250}{11}}. \]此时完成订单任务的最短时间大于 $ {\dfrac{250}{11}} $．
③ 当 $ k<2 $ 时，$ T_1\left(x\right)<T_2\left(x\right) $，由于 $ k $ 为正整数，故 $ k=1 $，此时\[ \begin{split}f\left(x\right)=\max\limits \left\{T_2\left(x\right),T_3\left(x\right)\right\}=\max\limits \left\{{\dfrac{2 000}{x}},{\dfrac{750}{100-x}}\right\} . \end{split}\]由函数 $ T_2\left(x\right)$，$T_3\left(x\right) $ 的单调性知，
当 $ {\dfrac{2 000}{x}}={\dfrac{750}{100-x}} $ 时，$ f\left(x\right) $ 取最小值，解得\[ x={\dfrac{800}{11}}, \]类似（1）的讨论，此时完成订单任务的最短时间为 $ {\dfrac{250}{9}} $，大于 $ {\dfrac{250}{11}} $．
综上所述，当 $ k=2 $ 时，完成订单任务的时间最短，
此时，生产 $ A$，$B$，$C $ 三种部件的人数分别为 $44$，$88$，$68 $．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
