设集合 ${P_n} = \left\{ 1 , 2 , \cdots , n\right\} $，$n \in {{\mathbb{N}}^ * }$．记 $f\left(n\right)$ 为同时满足下列条件的集合 $ A $ 的个数：① $A \subseteq {P_n}$；② 若 $x \in A$，则 $2x \notin A$；③ 若 $x \in {\complement _{ {P_n}}}A$，则 $2x \notin {\complement _{ {P_n}}}A$．
【难度】
【出处】
2012年高考江苏卷
【标注】
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求 $f\left(4\right)$；标注答案$ f\left(4\right)=4 $．解析当 $ n=4 $ 时，$P_4=\left\{ 1,2,3,4\right\} $，符合条件的集合 $ A $ 为 $ \left\{2\right\} $，$ \left\{1,4\right\} $，$ \left\{2,3\right\} $，$ \left\{1,3,4\right\} $，故 $ f\left(4\right)=4 $．
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求 $f\left(n\right)$ 的解析式（用 $ n $ 表示）．标注答案\[f\left(n\right)= \begin{cases} 2^{\frac{n}{2}}, & n为偶数,\\
2^{\frac{n+1}{2}}, & n为奇数. \end{cases} \]解析任取偶数 $ x\in P_n $，将 $ x $ 除以 $ 2 $，若商仍为偶数，再除以 $ 2 \cdots $，经过 $ k $ 次以后，商必为奇数，此时记商为 $ m $，
于是 $ x=m\cdot 2^k $，其中 $ m $ 为奇数，$ k\in {\mathbb{N}}^* $．由条件知，
若 $ m\in A $，则 $ x\in A \Leftrightarrow k 为偶数 $；
若 $ m \not\in A $，则 $ x\in A \Leftrightarrow k 为奇数$．
于是 $ x $ 是否属于 $ A $ 由 $ m $ 是否属于 $ A $ 确定．
设 $ Q_n $ 是 $ P_n $ 中所有奇数的集合，因此 $ f\left(n\right) $ 等于 $ Q_n $ 的子集个数．
当 $ n $ 为偶数（或奇数）时，$ P_n $ 中奇数的个数是 $ {\dfrac{n}{2}} $（或 $ {\dfrac{n+1}{2}} $），
所以\[f\left(n\right)= \begin{cases} 2^{\frac{n}{2}}, & n为偶数,\\
2^{\frac{n+1}{2}}, & n为奇数. \end{cases} \]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
