已知数列 $ \left\{a_n\right\} $ 的前 $ n $ 项和为 $ S_n $，且 $ S_n=2n^2+n,n\in {\mathbb{N}}^* $，数列 $ \left\{b_n\right\} $ 满足 $ a_n=4{\log_2}b_n+3,n\in {\mathbb{N}}^* $．
【难度】
【出处】
2012年高考浙江卷（文）
【标注】
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求 $ a_n$，$b_n $；标注答案解析由 $ S_n=2n^2+n $，得
当 $ n=1 $ 时，$ a_1=S_1=3 $；
当 $ n\geqslant 2 $ 时，$ a_n=S_n-S_{n-1}=4n-1 $，所以\[a_n=4n-1,n\in {\mathbb{N}}^* .\]由 $ 4n-1=a_n=4\log _2b_n+3 $，得\[ b_n=2^{n-1},n\in {\mathbb{N}}^* .\] -
求数列 $ \left\{a_n\cdot b_n\right\} $ 的前 $ n $ 项和 $ T_n $．标注答案解析由（1）知 $ a_nb_n=\left(4n-1\right)\cdot 2^{n-1},n\in {\mathbb{N}}^* $，所以\[ \begin{split}T_n&=3+7\times 2+11\times 2^2+\cdots+\left(4n-1\right)\cdot 2^{n-1},\\2T_n&=3\times 2+7\times 2^2+\cdots+\left(4n-5\right)\cdot 2^{n-1}+\left(4n-1\right)\cdot 2^n,\end{split}\]所以\[ \begin{split}2T_n-T_n &=\left(4n-1\right)2^n-\left[3+4\left(2+2^2+\cdots+2^{n-1}\right)\right]\\&=\left(4n-5\right)2^n+5. \end{split}\]故\[ T_n=\left(4n-5\right)2^n+5,n\in {\mathbb{N}}^*. \]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
