设函数 $ f\left(x\right)=A\sin \left(\omega x+\varphi \right) \left(其中A>0,\omega >0,-{\mathrm \pi} <\varphi \leqslant {\mathrm \pi} \right)$ 在 $ x={\dfrac{\mathrm \pi} {6}} $ 处取得最大值 $ 2 $，其图象与 $ x $ 轴的相邻两个交点的距离为 $ {\dfrac{\mathrm \pi} {2}} $．
【难度】
【出处】
2012年高考重庆卷（文）
【标注】
-
求 $ f\left(x\right) $ 的解析式；标注答案$f\left(x\right)=2\sin \left(2x+{\dfrac{\mathrm \pi} {6}} \right)$．解析由题设条件知 $ f\left(x\right) $ 的最小正周期 $ T={\mathrm \pi} $，即 $ {\dfrac{2{\mathrm \pi} }{\omega }}={\mathrm \pi} $，解得 $ \omega =2 $．
因为 $ f\left(x\right) $ 在 $ x={\dfrac{\mathrm \pi} {6}} $ 处取得最大值 $ 2 $，所以 $ A=2 $．从而 $\sin \left(2\times {\dfrac{\mathrm \pi} {6}}+\varphi \right)=1 $，所以\[ {\dfrac{\mathrm \pi} {3}}+\varphi ={\dfrac{\mathrm \pi} {2}}+2k{\mathrm \pi} ,k\in {\mathbb {Z}}, \]又由 ${\mathrm { -{\mathrm \pi} }} <\varphi \leqslant {\mathrm \pi} $，得 $ \varphi ={\dfrac{\mathrm \pi} {6}} $．故 $ f\left(x\right) $ 的解析式为\[ f\left(x\right)=2\sin \left(2x+{\dfrac{\mathrm \pi} {6}} \right). \] -
求函数 $ g\left(x\right)=\dfrac{6\cos ^4x-\sin^ 2x-1}{f \left(x+\dfrac{\mathrm \pi} { 6} \right)}$ 的值域．标注答案$\left[1 ,\dfrac {7}{4} \right) \cup \left( \dfrac{7}{4},\dfrac{5}{2} \right] $．解析\[ \begin{split} g\left(x\right) &=\dfrac{6\cos ^4 x-\sin ^2 x-1}{2\sin \left( 2x+ \dfrac {\mathrm \pi} {2}\right)} =\dfrac{6\cos ^4x+\cos ^2x-2}{2\cos 2x} \\&=\dfrac{\left(2\cos ^2x-1\right)\left(3\cos ^2x+2\right)}{2\left(2\cos ^2x-1\right)} \\&=\dfrac{3}{2} \cos ^2 x+1 \left(\cos ^2 x\neq \dfrac{1}{2}\right),\end{split} \]因为 $ \cos ^2x\in \left[0,1\right] $，且 $ \cos ^2x\neq {\dfrac{1}{2}} $，故 $ g\left(x\right) $ 的值域为 $\left[1 ,\dfrac {7}{4} \right) \cup \left( \dfrac{7}{4},\dfrac{5}{2} \right] $．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
