题目

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某花店每天以每枝 $ 5 $ 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝 $ 10 $ 元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理．

【难度】

【出处】

无

【标注】

若花店一天购进 $ 16 $ 枝玫瑰花，求当天的利润 $ y $（单位：元）关于当天需求量 $ n $（单位：枝，$ n\in {\mathbb {N}} $）的函数解析式；
标注
答案

解析

当日需求量 $ n\geqslant 16 $ 时，利润 $ y=80 $．
当日需求量 $ n<16 $ 时，利润 $ y=10n-80 $．
所以 $ y $ 关于 $ n $ 的函数解析式为\[y= \begin{cases}10n-80,n<16,\\80, n\geqslant 16,\end{cases} \left(n\in {\mathbb {N}}\right)\]
花店记录了 $ 100 $ 天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline
日需求量n &14 &15& 16 &17& 18& 19& 20 \\ \hline
频数 &10& 20 &16& 16& 15 &13& 10 \\ \hline
\end{array} 以 $ 100 $ 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
（ⅰ）若花店一天购进 $ 16 $ 枝玫瑰花，$ X $ 表示当天的利润（单位：元），求 $ X $ 的分布列、数学期望及方差；
（ⅱ）若花店计划一天购进 $ 16 $ 枝或 $ 17 $ 枝玫瑰花，你认为应购进 $ 16 $ 枝还是 $ 17 $ 枝？请说明理由．
标注
答案

解析

（ⅰ）$ X $ 可能的取值为 $ 60$，$70$，$80 $，并且\[ P\left(X=60\right)=0.1,P\left(X=70\right)=0.2,P\left(X=80\right)=0.7 \]$ X $ 的分布列为 \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline
X &60& 70 &80 \\ \hline
P& 0.1& 0.2& 0.7 \\ \hline \end{array} $ X $ 的数学期望为\[EX=60\times 0.1+70\times 0.2+80\times 0.7=76.\]$X$ 的方差为\[DX=\left(60-76\right)^2\times 0.1+\left(70-76\right)^2\times 0.2+\left(80-76\right)^2\times 0.7= 44.\]（ⅱ）答案一：花店一天应购进 $ 16 $ 枝玫瑰花．理由如下：
若花店一天购进 $ 17 $ 枝玫瑰花，$ Y $ 表示当天的利润（单位：元），那么 $ Y $ 的分布列为 \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline
Y &55 &65 &75 &85\\ \hline
P &0.1& 0.2& 0.16 & 0.54 \\ \hline \end{array} $ Y $ 的数学期望为\[EY=55\times 0.1+65\times 0.2+75\times 0.16+85\times 0.54=76.4.\]$Y$ 的方差为\[ \begin{split}DY &=\left(55-76.4\right)^2\times 0.1+\left(65-76.4\right)^2\times 0.2+\left(75-76.4\right)^2\times 0.16+\left(85-76.4\right)^2\times 0.54\\&=112.04.\end{split} \]由以上的计算结果可以看出，$ DX<DY $，即购进 $ 16 $ 枝玫瑰花时利润波动相对较小．
另外，虽然 $ EX<EY $，但两者相差不大．故花店一天应购进 $ 16 $ 枝玫瑰花．
答案二：花店一天应购进 $ 17 $ 枝玫瑰花．理由如下：
若花店一天购进 $ 17 $ 枝玫瑰花，$ Y $ 表示当天的利润（单位：元），那么 $ Y $ 的分布列为 \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline
Y& 55& 65& 75& 85 \\ \hline
P& 0.1 &0.2 &0.16 &0.54 \\ \hline \end{array} $ Y $ 的数学期望为\[EY=55\times 0.1+65\times 0.2+75\times 0.16+85\times 0.54=76.4.\]由以上的计算结果可以看出，$ EX<EY $，即购进 $ 17 $ 枝玫瑰花时的平均利润大于购进 $ 16 $ 枝时的平均利润．
故花店一天应购进 $ 17 $ 枝玫瑰花．

题目问题1 答案1 解析1 备注1 问题2 答案2 解析2

（ⅰ）$ X $ 可能的取值为 $ 60$，$70$，$80 $，并且\[ P\left(X=60\right)=0.1,P\left(X=70\right)=0.2,P\left(X=80\right)=0.7 \]$ X $ 的分布列为 \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline X &60& 70 &80 \\ \hline P& 0.1& 0.2& 0.7 \\ \hline \end{array} $ X $ 的数学期望为\[EX=60\times 0.1+70\times 0.2+80\times 0.7=76.\]$X$ 的方差为\[DX=\left(60-76\right)^2\times 0.1+\left(70-76\right)^2\times 0.2+\left(80-76\right)^2\times 0.7= 44.\]（ⅱ）答案一：花店一天应购进 $ 16 $ 枝玫瑰花．理由如下： 若花店一天购进 $ 17 $ 枝玫瑰花，$ Y $ 表示当天的利润（单位：元），那么 $ Y $ 的分布列为 \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline Y &55 &65 &75 &85\\ \hline P &0.1& 0.2& 0.16 & 0.54 \\ \hline \end{array} $ Y $ 的数学期望为\[EY=55\times 0.1+65\times 0.2+75\times 0.16+85\times 0.54=76.4.\]$Y$ 的方差为\[ \begin{split}DY &=\left(55-76.4\right)^2\times 0.1+\left(65-76.4\right)^2\times 0.2+\left(75-76.4\right)^2\times 0.16+\left(85-76.4\right)^2\times 0.54\\&=112.04.\end{split} \]由以上的计算结果可以看出，$ DX<DY $，即购进 $ 16 $ 枝玫瑰花时利润波动相对较小． 另外，虽然 $ EX<EY $，但两者相差不大．故花店一天应购进 $ 16 $ 枝玫瑰花． 答案二：花店一天应购进 $ 17 $ 枝玫瑰花．理由如下： 若花店一天购进 $ 17 $ 枝玫瑰花，$ Y $ 表示当天的利润（单位：元），那么 $ Y $ 的分布列为 \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline Y& 55& 65& 75& 85 \\ \hline P& 0.1 &0.2 &0.16 &0.54 \\ \hline \end{array} $ Y $ 的数学期望为\[EY=55\times 0.1+65\times 0.2+75\times 0.16+85\times 0.54=76.4.\]由以上的计算结果可以看出，$ EX<EY $，即购进 $ 17 $ 枝玫瑰花时的平均利润大于购进 $ 16 $ 枝时的平均利润． 故花店一天应购进 $ 17 $ 枝玫瑰花．