已知函数 $f\left(x\right) = \sin \left( {2x + \dfrac{{\mathrm{\pi }}}{3}} \right) + \sin \left( {2x - \dfrac{{\mathrm{\pi }}}{3}} \right) + 2\cos ^2 x - 1$，$x \in {\mathbb{R}}$．
【难度】
【出处】
2012年高考天津卷（理）
【标注】
-
求函数 $f\left(x\right)$ 的最小正周期；标注答案解析\[\begin{split} f\left(x\right) &=\sin 2x\cdot \cos {\dfrac{{\mathrm{\pi}} }{3}}+\cos 2x\cdot \sin {\dfrac{{\mathrm{\pi}} }{3}}+\sin 2x\cdot \cos {\dfrac{{\mathrm{\pi}} }{3}}- \cos 2x\cdot \sin {\dfrac{{\mathrm{\pi }}}{3}}+\cos 2x\\&=\sin 2x+\cos 2x\\&={\sqrt{2}}\sin \left( 2x+{\dfrac{{\mathrm{\pi}} }{4}}\right) , \end{split}\]所以 $ f\left(x\right) $ 的最小正周期 $ T={\dfrac{2{\mathrm{\pi }}}{2}}={\mathrm{\pi}} $．
-
求函数 $f \left(x\right) $ 在区间 $\left[ { - \dfrac{{\mathrm{\pi }}}{4},\dfrac{{\mathrm{\pi }}}{4}} \right]$ 上的最大值和最小值．标注答案解析因为 $ f\left(x\right) $ 在区间 $ \left[-{\dfrac{{\mathrm{\pi}} }{4}},{\dfrac{{\mathrm{\pi}} }{8}} \right]$ 上是增函数，在区间 $ \left[ {\dfrac{{\mathrm{\pi}} }{8}},{\dfrac{{\mathrm{\pi}} }{4}} \right] $ 上是减函数．
又\[ f \left(-{\dfrac{{\mathrm{\pi}} }{4}}\right) =-1,f\left( {\dfrac{{\mathrm{\pi }}}{8}}\right) ={\sqrt{2}},f \left({\dfrac{{\mathrm{\pi}} }{4}}\right) =1, \]故函数 $ f\left(x\right) $ 在区间 $ \left[-{\dfrac{{\mathrm{\pi}} }{4}},{\dfrac{{\mathrm{\pi}} }{4}}\right] $ 上的最大值为 $ {\sqrt{2}} $，最小值为 $ -1 $．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
