设等差数列 $ \left\{a_n\right\} $ 的公差为 $ d $，等比数列 $\left\{b_n\right\} $ 的公比为 $ q $．
由 $ a_1=b_1=2 $，得\[ \begin{split}a_4&=2+3d,\\b_4&=2q^3,\\S_4&=8+6d.\end{split} \]由条件，得方程组\[\begin{cases} 2+3d+2q^3=27,\\8+6d-2q^3=10,\end{cases} \]解得\[\begin{cases} d=3,\\q=2, \end{cases}\]所以\[ a_n=3n-1,b_n=2^n,n\in {\mathbb{N}}_+. \]

证法一：由（1）得\[ T_n=2a_n+2^2a_{n-1}+2^3a_{n-2}+\cdots+2^na_1, \quad \cdots \cdots ① \\2T_n=2^2a_n+2^3a_{n-1}+\cdots+2^na_2+2^{n+1}a_1. \quad \cdots \cdots ② \]② $ - $ ① 得\[\begin{split} T_n &=-2\left(3n-1\right)+3\times 2^2+3\times 2^3+\cdots+3\times 2^n+2^{n+2}\\&={\dfrac{12\left(1-2^{n-1}\right)}{1-2}}+2^{n+2}-6n+2\\&=10\times 2^n-6n-10.\end{split} \]而\[ \begin{split}-2a_n+10b_n-12 &=-2\left(3n-1\right)+10\times 2^n-12\\&=10\times 2^n-6n-10,\end{split} \]故\[ T_n+12=-2a_n+10b_n,n\in {\mathbb{N}}_+. \]证法二：数学归纳法
（i）当 $ n=1 $ 时，$ T_1+12=a_1b_1+12=16,-2a_1+10b_1=16 $，故等式成立；
（ii）假设当 $ n=k $ 时等式成立，即 $ T_k+12=-2a_k+10b_k $，则当 $ n=k+1 $ 时有\[ \begin{split}T_{k+1} &=a_{k+1}b_1+a_kb_2+a_{k-1}b_3+\cdots+a_1b_{k+1}\\&=a_{k+1}b_1+q\left(a_kb_1+a_{k-1}b_2+\cdots+a_1b_k\right)\\&=a_{k+1}b_1+qT_k\\&=a_{k+1}b_1+q\left(-2a_k+10b_k-12\right)\\&=2a_{k+1}-4\left(a_{k+1}-3\right)+10b_{k+1}-24\\&=-2a_{k+1}+10b_{k+1}-12,\end{split} \]即\[ T_{k+1}+12=-2a_{k+1}+10b_{k+1}. \]因此 $ n=k+1 $ 时等式也成立．
由（i）和（ii）可知对任意 $ n\in {\mathbb{N}}_+,T_n+12=-2a_n+10b_n $ 成立．