题目 在等差数列 $\left\{ {a_n}\right\} $ 中，${a_3} + {a_4} + {a_5} = 84$，${a_9} = 73$． 问题1 求数列 $\left\{ {a_n}\right\} $ 的通项公式； 答案1 解析1 因为 $ \left\{a_n\right\} $ 是一个等差数列，所以\[ a_3+a_4+a_5=3a_4=84,a_4=28 .\]设数列 $ \left\{a_n\right\} $ 的公差为 $ d $，则\[5d=a_9-a_4=73-28=45 ,\]故 $d=9 .$ 由 $ a_4=a_1+3d $，得\[28=a_1+3\times 9,\]即 $a_1=1.$ 所以\[\begin{split} a_n&=a_1+\left(n-1\right)d\\&=1+9\left(n-1\right)\\&=9n-8\left(n\in {\mathbb{N}}^*\right). \end{split}\] 备注1 问题2 对任意 $m \in {{\mathbb{N}}^*}$，将数列 $\left\{ {a_n}\right\} $ 中落入区间 $\left({9^m} , {9^{2m}}\right)$ 内的项的个数记为 ${b_m}$，求数列 $\left\{ {b_m}\right\} $ 的前 $m$ 项和 ${S_m}$． 答案2 解析2 对 $ m\in {\mathbb{N}}^* $，若 $ 9^m<a_n<9^{2m} $，则 $ 9^m+8<9n<9^{2m}+8 $．<br/>因此 $ 9^{m-1}+1\leqslant n\leqslant 9^{2m-1} $．<br/>故得 $ b_m=9^{2m-1}-9^{m-1 }$．于是\[ \begin{split}S_m &=b_1+b_2+b_3+\cdots+b_m\\&=\left(9+9^3+\cdots+9^{2m-1}\right)-\left(1+9+\cdots+9^{m-1}\right)\\&={\dfrac{9\times \left(1-81^m\right)}{1-81}}-{\dfrac{\left(1-9^m\right)}{1-9}}\\&={\dfrac{9^{2m+1}-10\times 9^m+1}{80}}.\end{split} \] 备注2