设函数 $f\left(x\right) = \dfrac{x}{2} + \sin x$ 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为 $\left\{ {x_n}\right\} $．
【难度】
【出处】
2012年高考安徽卷（文）
【标注】
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求数列 $\left\{ {x_n}\right\} $ 的通项公式；标注答案解析$ f\left(x\right) = \dfrac{x}{2} + \sin x $，令 $ f'\left(x\right) = \dfrac{1}{2} + \cos x = 0$，则\[ x = 2k{\mathrm \pi } \pm \dfrac{{2{\mathrm \pi }}}{3}\left(k \in {\mathbb{Z}}\right).\]令 $f'\left(x\right) > 0$ 可得：\[2k{\mathrm \pi } - \dfrac{{2{\mathrm \pi }}}{3} < x < 2k{\mathrm \pi } + \dfrac{{2{\mathrm \pi }}}{3}\left(k \in {\mathbb{Z}}\right),\]令 $f'\left(x\right)< 0$ 可得：\[ 2k{\mathrm \pi } + \dfrac{{2{\mathrm \pi }}}{3} < x < 2k{\mathrm \pi } + \dfrac{{4{\mathrm \pi }}}{3}\left(k \in {\mathbb{Z}}\right), \]所以当 $x = 2k{\mathrm \pi } - \dfrac{{2{\mathrm \pi }}}{3}\left(k \in {\mathbb{Z}}\right)$ 时，$f\left(x\right)$ 取极小值．
所以 ${x_n} = 2n{\mathrm \pi } - \dfrac{{2{\mathrm \pi }}}{3}$． -
设 $\left\{ {x_n}\right\} $ 的前 $n$ 项和为 ${S_n}$，求 $\sin {S_n}$．标注答案解析由（1）得：${x_n} = 2n{\mathrm \pi } - \dfrac{{2{\mathrm \pi }}}{3}$，\[ \begin{split}{S_n} &= {x_1} + {x_2} + {x_3} + \cdots + {x_n} \\&= 2{\mathrm \pi }\left(1 + 2 + 3 + \cdots + n\right) - \frac{{2n{\mathrm \pi }}}{3} \\&= n\left(n + 1\right){\mathrm \pi } - \frac{{2n{\mathrm \pi }}}{3}, \end{split}\]当 $n = 3k\left(k \in {{\mathbb{N}}^*}\right)$ 时，$\sin {S_n} = \sin \left( - 2k{\mathrm \pi }\right) = 0$，
当 $n = 3k - 1\left(k \in {{\mathbb{N}}^*}\right)$ 时，$\sin {S_n} = \sin \dfrac{{2{\mathrm \pi }}}{3} = \dfrac{\sqrt 3 }{2}$，
当 $n = 3k - 2\left(k \in {{\mathbb{N}}^*}\right)$ 时，$\sin {S_n} = \sin \dfrac{{4{\mathrm \pi }}}{3} = - \dfrac{\sqrt 3 }{2}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
