对 $f\left(x\right)$ 求导可得\[ \begin{split}f'\left(x\right)=x^2+\left(1-a\right)x-a=\left(x+1\right)\left(x-a\right).\end{split} \]由 $ f '\left(x\right)=0 $，得\[\begin{cases} x_1=-1,\\x_2=a>0 .\end{cases}\]当 $ x $ 变化时，$ f '\left(x\right)$，$f\left(x\right) $ 的变化情况如下表：\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline
x &\left(-\infty ,-1\right) &-1& \left(-1,a\right)& a& \left(a,+\infty \right)\\ \hline
f ′\left(x\right) &+& 0 &- &0 &+\\ \hline
f\left(x\right)&↗ &极大值&↘& 极小值&↗\\ \hline\end{array}\]故函数 $ f\left(x\right) $ 的单调递增区间是 $ \left(-\infty ,-1\right)$，$\left(a,+\infty \right) $；单调递减区间是 $ \left(-1,a\right) $．

由（1）知 $ f\left(x\right) $ 在区间 $ \left(-2,-1\right) $ 内单调递增，在区间 $ \left(-1,0\right) $ 内单调递减，
从而函数 $ f\left(x\right) $ 在区间 $ \left(-2,0\right) $ 内恰有两个零点，当且仅当\[ \begin{cases}f\left(-2\right)<0,\\f\left(-1\right)>0,\\f\left(0\right)<0,\end{cases} \]解得\[ 0<a<{\dfrac{1}{3}} .\]所以 $ a $ 的取值范围是 $ \left(0,{\dfrac{1}{3}} \right) $．

当 $ a=1 $ 时，\[ f\left(x\right)={\dfrac{1}{3}}x^3-x-1. \]由（1）知 $ f\left(x\right) $ 在 $ \left[-3,-1\right] $ 上单调递增，在 $ \left[-1,1\right] $ 上单调递减，在 $ \left[1,2\right] $ 上单调递增．
① 当 $ t\in \left[-3,-2\right] $ 时，$ t+3\in \left[0,1\right]$，$-1\in \left[t,t+3\right] $，
$ f\left(x\right) $ 在 $ \left[t,-1\right] $ 上单调递增，在 $ \left[-1,t+3\right] $ 上单调递减．
因此，$ f\left(x\right) $ 在 $ \left[t,t+3\right] $ 上的最大值\[ M\left(t\right)=f\left(-1\right)=-{\dfrac{1}{3}} ,\]而最小值 $ m\left(t\right) $ 为 $ f\left(t\right) $ 与 $ f\left(t+3\right) $ 中的较小者．由\[ f\left(t+3\right)-f\left(t\right)=3\left(t+1\right)\left(t+2\right) ,\]知，当 $ t\in \left[-3,-2\right] $ 时，$ f\left(t\right)\leqslant f\left(t+3\right) $，故\[ m\left(t\right)=f\left(t\right) ,\]所以\[ g\left(t\right)=f\left(-1\right)-f\left(t\right) .\]而 $ f\left(t\right) $ 在 $ \left[-3,-2\right] $ 上单调递增，因此\[ f\left(t\right)\leqslant f\left(-2\right)=-{\dfrac{5}{3}} .\]所以 $ g\left(t\right) $ 在 $ \left[-3,-2\right] $ 上的最小值为\[ g\left(-2\right)=-{\dfrac{1}{3}}- \left(-{\dfrac{5}{3}}\right) ={\dfrac{4}{3}} .\]② 当 $ t\in \left[-2,-1\right] $ 时，$ t+3\in \left[1,2\right] $，且 $ -1,1\in \left[t,t+3\right] $．
下面比较 $ f\left(-1\right)$，$f\left(1\right)$，$f\left(t\right)$，$f\left(t+3\right) $ 的大小．
由 $ f\left(x\right) $ 在 $ \left[-2,-1\right]$，$\left[1,2\right] $ 上单调递增，有\[\begin{split} f\left(-2\right)&\leqslant f\left(t\right)\leqslant f\left(-1\right),\\f\left(1\right)&\leqslant f\left(t+3\right)\leqslant f\left(2\right).\end{split} \]又由\[\begin{split} f\left(1\right)&=f\left(-2\right)=-{\dfrac{5}{3}},\\f\left(-1\right)&=f\left(2\right)=-{\dfrac{1}{3}},\end{split} \]从而\[\begin{split} M\left(t\right)&=f\left(-1\right)=-{\dfrac{1}{3}},\\m\left(t\right)&=f\left(1\right)=-{\dfrac{5}{3}}.\end{split}\]所以\[ g\left(t\right)=M\left(t\right)-m\left(t\right)={\dfrac{4}{3}}. \]综上，函数 $ g\left(t\right) $ 在区间 $ \left[-3,-1\right] $ 上的最小值为 $ {\dfrac{4}{3}} $．