已知函数 $f\left(x\right) = 2\sin \left(\omega x\right)$，其中常数 $\omega > 0$．
【难度】
【出处】
2013年高考上海卷（文）
【标注】
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令 $\omega = 1$，判断函数 $F\left(x\right) = f\left(x\right) + f\left(x + \dfrac{{\mathrm{\pi}} }{2}\right)$ 的奇偶性并说明理由；标注答案解析$\omega = 1$ 时，$ f\left(x\right) = 2\sin x $，所以\[\begin{split}F\left(x\right) & = f\left(x\right) + f\left(x + \dfrac{{\mathrm{\pi}} }{2}\right) \\& = 2\sin x + 2\sin \left(x + \dfrac{{\mathrm{\pi}} }{2}\right) \\&= 2\sin x + 2\cos x \\& = 2\sqrt 2 \sin \left(x + \dfrac{{\mathrm{\pi}} }{4}\right),\end{split}\]奇函数 $y = 2\sqrt 2 \sin x$ 的图像左移 $ \dfrac{{\mathrm{\pi}} }{4} $ 后得\[F\left(x\right) = 2\sqrt 2 \sin \left(x + \dfrac{{\mathrm{\pi}} }{4}\right),\]所以 $F\left(x\right)$ 既不是奇函数，也不是偶函数．
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令 $\omega = 2$，将函数 $y = f\left(x\right)$ 的图像向左平移 $\dfrac{{\mathrm{\pi}} }{6}$ 个单位，再向上平移 $1$ 个单位，得到函数 $y = g\left(x\right)$ 的图像．对任意的 $a \in {\mathbb{R}}$，求 $y = g\left(x\right)$ 在区间 $\left[a,a + 10{\mathrm{\pi}} \right]$ 上零点个数的所有可能值．标注答案解析由题意得\[g\left(x\right) = f\left(x+ \dfrac{{\mathrm{\pi}} }{6}\right) + 1 = 2\sin 2\left(x + \dfrac{{\mathrm{\pi}} }{6}\right) + 1,\]所以，函数 $g(x) $ 的最小正周期为 $T = {\mathrm{\pi}}, $ 则区间 $[a,a+10{\pi} ] $ 含有 $ 10 $ 个周期．
当 $a $ 是零点时，函数 $g(x) $ 在 $[a,a+10{\pi} ] $ 上有 $ 21 $ 个零点；
当 $a $ 不是零点时，$a+k{\pi} (k\in{\mathbb{Z}}) $ 也不是零点，从而函数 $g(x) $ 在 $[a+k{\pi} ,a+(k+1){\pi} ](k\in{\mathbb{Z}})$ 上有两个零点，所以函数 $g(x) $ 在 $[a,a+10{\pi} ] $ 上有 $ 20 $ 个零点，
所以 $ y=g\left(x\right) $ 在区间 $ \left[a, a+10{\mathrm{\pi}}\right] $ 上，零点个数可以取 $ 20 $、$ 21 $ 个．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
