由题意，令 $ m=2 $，$ n=1 $，可得\[ a_{3}=2a_{2}-a_{1}+2=6 ,\]再令 $ m=3 $，$ n=1 $，可得\[ a_{5}=2a_{3}-a_{1}+8=20 .\]

当 $ n\in {\mathbb{N}} ^* $ 时，由已知（以 $ n+2 $ 代替 $ m $）可得\[ a_{2n+3}+a_{2n-1}=2a_{2n+1}+8. \]于是\[ \left[a_{2\left(n+1\right)+1}-a_{2\left(n+1\right)-1}\right]-\left(a_{2n+1}-a_{2n-1}\right)=8, \]即\[ b_{n+1}-b_{n}=8 .\]所以数列 $ \left\{b_{n}\right\} $ 是公差为 $ 8 $ 的等差数列．

由（1）（2）解答可知 $ \left\{b_{n}\right\} $ 是首项为 $ b_{1}=a_{3}-a_{1}=6 $，公差为 $ 8 $ 的等差数列，则 $ b_{n}=8n-2 $，即\[ a_{2n+1}-a_{2n-1}=8n-2 .\]另由已知（令 $ m=1 $），可得\[ a_{n}= \dfrac{{{a_{2n - 1}} + {a_1}}}{2} -\left(n-1\right)^2. \]那么\[\begin{split} a_{n+1}-a_{n}&= \dfrac{{{a_{2n + 1}} - {a_{2n - 1}}}}{2} -2n+1\\&= \dfrac{8n - 2}{2} -2n+1=2n ,\end{split}\]于是\[ c_{n}=2nq^{n-1} .\]当 $ q=1 $ 时，$ S_{n}=2+4+6+\cdots+2n=n\left(n+1\right) $；
当 $ q\neq 1 $ 时，$ S_{n}=2\cdot q^0+4\cdot q^1+6\cdot q^2+\cdots+2n\cdot q^{n-1 }$．
两边同乘以 $ q $，可得\[ qS_{n}=2\cdot q^1+4\cdot q^2+6\cdot q^3+\cdots+2n\cdot q^n. \]上述两式相减得\[ \begin{split}\left(1-q\right)S_{n}&=2\left(1+q+q^2+\cdots+q^{n-1}\right)-2nq^n\\&=2\cdot \dfrac{{1 - {q^n}}}{1 - q} -2nq^n\\&=2\cdot \dfrac{{1 - \left(n + 1\right){q^n} + n{q^{n + 1}}}}{1 - q}. \end{split} \]所以\[ S_{n}=2\cdot \dfrac{{n{q^{n + 1}} - \left(n + 1\right){q^n} + 1}}{{{{\left(1 - q\right)}^2}}}. \]综上所述\[S_{n}=\begin{cases}n\left(n + 1\right),& \left(q = 1\right) ,\\
2\cdot\dfrac{{n{q^{n + 1}} - \left(n + 1\right){q^n} + 1}}{{{{\left(1 - q\right)}^2}}},&\left(q \ne 1\right) .\\
\end{cases}\]