设 $ a $ 为实数，函数 $f\left(x\right) = {{\mathrm{e}}^x} - 2x + 2a,x \in {\mathbb{R}}$．
【难度】
【出处】
2010年高考安徽卷（理）
【标注】
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求 $f\left(x\right)$ 的单调区间与极值；标注答案解析由 $f\left(x\right) = {{\mathrm{e}}^x} - 2x + 2a,x \in {\mathbb{R}}$，知\[f'\left(x\right) = {{\mathrm{e}}^x} - 2,x \in {\mathbb{R}}.\]令 $f'\left(x\right) = 0$，得\[ x = \ln 2. \]于是当 $ x $ 变化时，$f'\left(x\right)$，$f\left(x\right)$ 的变化情况如下表：\[\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
x&\left(-\infty,\ln2\right)&\ln2&\left(\ln2,+\infty\right)\\ \hline
f'\left(x\right)&-&0&+\\ \hline
f\left(x\right)&单调递减&2\left(1-\ln2+a\right)&单调递增\\ \hline
\end{array}\]故 $f\left(x\right)$ 的单调递减区间是 $\left( - \infty ,\ln 2\right)$，单调递增区间是 $\left(\ln 2, + \infty \right)$，
$f\left(x\right)在x = \ln 2$ 处取得极小值，极小值为\[\begin{split}f\left(\ln 2\right) &= {{\mathrm{e}}^{\ln 2}} - 2\ln 2 + 2a \\&= 2\left(1 - \ln 2 + a\right).\end{split}\] -
求证：当 $a > \ln 2 - 1$ 且 $x > 0$ 时，${{\mathrm{e}}^x} > x^2- 2ax + 1.$标注答案解析设 $g\left(x\right) = {{\mathrm{e}}^x} - {x^2} + 2ax - 1,x \in {\mathbb{R}}$，于是\[g'\left(x\right) = {{\mathrm{e}}^x} - 2x + 2a,x \in {\mathbb{R}}.\]由（1）知当 $a > \ln 2 - 1$ 时，$g'\left(x\right)$ 最小值为\[g'\left(\ln 2\right) = 2\left(1 - \ln 2 + a\right) > 0.\]于是对任意 $x \in {\mathbb{R}}$，都有 $g'\left(x\right) > 0$，所以 $g\left(x\right)$ 在 ${\mathbb{R}}$ 内单调递增．
于是当 $a > \ln 2 - 1$ 时，对任意 $ x \in \left(0, + \infty \right)$，都有 $g\left(x\right) > g\left(0\right)$，
而 $g\left(0\right) = 0$，从而对任意 $x \in \left(0, + \infty \right),g\left(x\right) > 0$．
即\[{{\mathrm{e}}^x} - {x^2} + 2ax - 1 > 0,\]故\[{{\mathrm{e}}^x} > {x^2} - 2ax + 1.\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
