题目 已知函数 $f\left(x\right) = \sin \left( {x + \dfrac{{7{\mathrm{\pi }}}}{4}} \right) + \cos \left( {x - \dfrac{{3{\mathrm{\pi }}}}{4}} \right)$，$x \in {\mathbb{R}}$． 问题1 求 $f\left(x\right)$ 的最小正周期和最小值； 答案1 解析1 因为\[\begin{split}f\left(x\right) & = \sin x\cos \dfrac{{7{\mathrm{\pi }}}}{4} + \cos x\sin \dfrac{{7{\mathrm{\pi }}}}{4} + \cos x\cos \dfrac{{3{\mathrm{\pi }}}}{4} + \sin x\sin \dfrac{{3{\mathrm{\pi }}}}{4} \\&<br/>= \sqrt 2 \sin x - \sqrt 2 \cos x \\& = 2\sin \left( {x - \dfrac{{\mathrm{\pi }}}{4}} \right),\end{split}\]所以 $f\left(x\right)$ 的最小正周期 $T = 2\pi $，最小值 $f{\left(x\right)_{\min }} = - 2$． 备注1 问题2 已知 $\cos \left(\beta - \alpha \right) = \dfrac{4}{5}$，$\cos \left(\beta + \alpha \right) = - \dfrac{4}{5}$，$0 < \alpha < \beta \leqslant \dfrac{{\mathrm{\pi }}}{2}$，求证：${\left[f\left(\beta \right)\right]^2} - 2 = 0$． 答案2 解析2 由已知得\[\begin{split}\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta &= \dfrac{4}{5}, \\ \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta & = - \dfrac{4}{5},\end{split}\]两式相加得\[2\cos \alpha \cos \beta = 0,\]因为 $0 < \alpha < \beta \leqslant \dfrac{{\mathrm{\pi }}}{2}$，所以\[\cos \beta = 0,\]即\[\beta = \dfrac{{\mathrm{\pi }}}{2},\]所以\[{\left[f\left(\beta \right)\right]^2} - 2= 4{\sin ^2}\dfrac{{\mathrm{\pi }}}{4} - 2 = 0.\] 备注2