由 $F\left( x \right) = f\left( x \right) - h\left( x \right) = \dfrac{2}{3}x + \dfrac{1}{2} - \sqrt x \left( {x \geqslant 0} \right)$ 知，\[F'\left( x \right) = \dfrac{4\sqrt x - 3}{6\sqrt x },\]令 $F'\left( x \right) = 0$，得\[x = \dfrac{9}{16},\]当 $x \in \left( {0,\dfrac{9}{16}} \right)$ 时，\[F'\left( x \right) < 0;\]当 $x \in \left( {\dfrac{9}{16}, + \infty } \right)$ 时，\[F'\left( x \right) > 0.\]故当 $x \in \left[ {0,\dfrac{9}{16}} \right)$ 时，$F\left( x \right)$ 为减函数，当 $x \in \left[ {\dfrac{9}{16}, + \infty } \right)$ 时，$F\left( x \right)$ 为增函数，$F\left( x \right)$ 在 $x = \dfrac{9}{16}$ 处有极小值，且 $F\left( {\dfrac{9}{16}} \right) = \dfrac{1}{8}$．

原方程化为 $ {\log _4}\left( {x - 1} \right) + {\log _2}h\left( {4 - x} \right) = {\log _2}h\left( {a - x} \right) $，即\[\begin{split} \dfrac 1 2 {\log _2}\left( {x - 1} \right) + {\log _2} \sqrt { 4 - x } = {\log _2} \sqrt{ {a - x} } & \Leftrightarrow {\begin{cases}
x - 1 > 0, \\
4 - x > 0, \\
a - x > 0, \\
\left( {x - 1} \right)\left( {4 - x} \right) = a - x ,\\
\end{cases}} \\& \Leftrightarrow {\begin{cases}1 < x < 4, \\
x < a, \\
a = - {\left( {x - 3} \right)^2} + 5, \\
\end{cases}}\end{split}\]如图：① 当 $1 < a \leqslant 4$ 时，原方程有一解\[x = 3 - \sqrt {5 - a} ;\]② 当 $4 < a < 5$ 时，原方程有二解\[{x_1}_{,2} = 3 \pm \sqrt {5 - a} ;\]③ 当 $a = 5$ 时，原方程有一解\[x = 3;\]④ 当 $a \leqslant 1$ 或 $a > 5$ 时，原方程无解．

由已知得 $\displaystyle \sum\limits_{k = 1}^{100} {h\left( k \right)} = \sum\limits_{k = 1}^{100} {\sqrt k } $．
设数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的前 $n$ 项和为 ${S_n}$，且 ${S_n} = f\left( n \right)h\left( n \right) - \dfrac{1}{6}\left( {n \in {{\mathbb{N}}^ * }} \right)$，从而有\[{a_1} = {S_1} = 1,\]当 $2 \leqslant k \leqslant 100$ 时，\[\begin{split}{a_k} & = {S_k} - {S_{k - 1}} \\& = \dfrac{4k + 3}{6}\sqrt k - \dfrac{4k - 1}{6}\sqrt {k - 1} ,\end{split}\]又\[\begin{split}{a_k} - \sqrt k & = \dfrac{1}{6}\left[ {\left( {4k - 3} \right)\sqrt k - \left( {4k - 1} \right)\sqrt {k - 1} } \right] \\& = \dfrac{1}{6}\times \dfrac{{{{\left( {4k - 3} \right)}^2}k - {{\left( {4k - 1} \right)}^2}\left( {k - 1} \right)}}{{\left( {4k - 3} \right)\sqrt k + \left( {4k - 1} \right)\sqrt {k - 1} }} \\&
= \dfrac{1}{6}\times \dfrac{1}{{\left( {4k - 3} \right)\sqrt k + \left( {4k - 1} \right)\sqrt {k - 1} }} \\& > 0,\end{split}\]即对任意的 $2 \leqslant k \leqslant 100$，有\[{a_k} > \sqrt k ,\]又因为 ${a_1} = 1 = \sqrt 1 $，所以 $\displaystyle \sum\limits_{k = 1}^{100} {a_k} > \sum\limits_{k = 1}^{100} {\sqrt k } $，故\[f\left(100\right)h\left(100\right) - \sum\limits_{k = 1}^{100} {h\left(k\right)} > \dfrac{1}{6}.\]