数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}\left(n \in {{\mathbb{N}}^*}\right)$ 中,${a_1} = a$,${a_{n + 1}}$ 是函数 ${f_n}\left(x\right) = \dfrac{1}{3}{x^3} - \dfrac{1}{2}\left(3{a_n} + {n^2}\right){x^2} + 3{n^2}{a_n}x$ 的极小值点.
【难度】
【出处】
2010年高考湖南卷(理)
【标注】
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当 $a = 0$ 时,求通项 ${a_n}$;标注答案解析易知\[{f'_n} \left(x\right) = {x^2} - \left(3{a_n} + {n^2}\right)x + 3{n^2}{a_n} = \left(x - 3{a_n}\right)\left(x - {n^2}\right) .\]令 ${f'_n} \left(x\right) = 0$,得 ${x_1} = 3{a_n}$,${x_2} = {n^2}$.
① 若 $3{a_n} < {n^2} $,则
当 $x < 3{a_n}$ 时,${f'_n}\left(x\right) > 0$,${f_n}\left(x\right)$ 单调递增;
当 $3{a_n} < x < {n^2}$ 时,${f'_n} \left(x\right) < 0 $,${f_n}\left(x\right)$ 单调递减;
当 $x > {n^2}$ 时,${f'_n} \left(x\right) > 0 $,${f_n}\left(x\right)$ 单调递增.
故 ${f_n}\left(x\right)$ 在 $x = {n^2}$ 取得极小值.
② 若 $3{a_n} > {n^2} $,仿 ① 可得,${f_n}\left(x\right)$ 在 $x = 3{a_n}$ 取得极小值.
③ 若 $3{a_n} = {n^2} $,则 ${f'_n} \left(x\right) \geqslant 0 $,${f_n}\left(x\right)$ 无极值.
当 $a = 0$ 时,${a_1} = 0 $,则 $3{a_1} < {1^2} $.由 ① 知,${a_2} = {1^2} = 1 $.
因为 $3{a_2} = 3 < {2^2} $,则由 ① 知,${a_3} = {2^2} = 4 $.
因为 $3{a_3} = 12 > {3^2} $,则由 ② 知,${a_4} = 3{a_3} = 3 \times 4 $.
又因为 $3{a_4} = 36 > {4^2} $,则由 ② 知,${a_5} = 3{a_4} = {3^2} \times 4 $.
由此猜测:当 $n \geqslant 3$ 时,${a_n} = 4 \times {3^{n - 3}} $.
下面先用数学归纳法证明:当 $n \geqslant 3$ 时,$3{a_n} > {n^2} $.
事实上,当 $n = 3$ 时,由前面的讨论知结论成立.
假设当 $n = k\left(k \geqslant 3\right)$ 时,$3{a_k} > {k^2}$ 成立,则由 ② 知,${a_{k + 1}} = 3{a_k} > {k^2}$,
从而\[ 3{a_{k + 1}} - {\left(k + 1\right)^2} > 3{k^2} - {\left(k + 1\right)^2} = 2k\left(k - 2\right) + 2k - 1 > 0,\]所以 $3{a_{k + 1}} > {\left(k + 1\right)^2}$.故当 $n \geqslant 3$ 时,$3{a_n} > {n^2}$ 成立.
于是由 ② 知,当 $n \geqslant 3$ 时,${a_{n + 1}} = 3{a_n} $,而 ${a_3} = 4 $,因此 ${a_n} = 4 \times {3^{n - 3}} $.
综上所述,当 $a = 0$ 时,${a_1} = 0 $,${a_2} = 1 $,${a_n} = 4 \times {3^{n - 3}}\left(n \geqslant 3\right) $. -
是否存在 $a$,使数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 是等比数列?若存在,求 $a$ 的取值范围;若不存在,请说明理由.标注答案解析存在 $a$,使数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 是等比数列.理由如下:
由 ② 知,若对任意的 $n$,都有 $3{a_n} > {n^2} $,则 ${a_{n + 1}} = 3{a_n}$.
即数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 是首项为 $a$,公比为 $ 3 $ 的等比数列,且 ${a_n} = a \cdot {3^{n - 1}}$.
而要使 $3{a_n} > {n^2}$,即 $a \cdot {3^n} > {n^2}$ 对一切 $n \in {{\mathbb{N}}^ * }$ 都成立,只需 $a > \dfrac{{{n^2}}}{{{3^n}}}$ 对一切 $n \in {{\mathbb{N}}^ * }$ 都成立.
记 ${b_n} = \dfrac{{{n^2}}}{{{3^n}}}$,则\[{b_1} = \dfrac{1}{3},{b_2} = \dfrac{4}{9},{b_3} = \dfrac{1}{3}, \cdots .\]令 $y = \dfrac{{{x^2}}}{{{3^x}}}$,则\[y' = \dfrac{1}{{{3^x}}}\left(2x - {x^2}\ln 3\right) < \dfrac{1}{{{3^x}}}\left(2x - {x^2}\right).\]因此,当 $x \geqslant 2$ 时,$y' < 0$,从而函数 $y = \dfrac{{{x^2}}}{{{3^x}}}$ 在 $\left[2, + \infty \right)$ 上单调递减.
故当 $n \geqslant 2$ 时,数列 $\left\{ {{b_n}} \right\}$ 单调递减,即数列 $\left\{ {{b_n}} \right\}$ 中最大项为 ${b_2} = \dfrac{4}{9}$.
于是当 $a > \dfrac{4}{9}$ 时,必有 $a > \dfrac{{{n^2}}}{{{3^n}}}$.
这说明,当 $a \in \left(\dfrac{4}{9}, + \infty \right)$ 时,数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 是等比数列.
当 $a = \dfrac{4}{9}$ 时,可得\[{a_1} = \dfrac{4}{9},{a_2} = \dfrac{4}{3} .\]而 $3{a_2} = 4 = {2^2}$,由 ③ 知,${f_2}\left(x\right)$ 无极值,不合题意.
当 $\dfrac{1}{3} < a < \dfrac{4}{9}$ 时,可得\[{a_1} = a,{a_2} = 3a,{a_3} = 4,{a_4} = 12, \cdots ,\]故数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 不是等比数列.
当 $a = \dfrac{1}{3}$ 时,$3a = 1 = {1^2}$,由 ③ 知,${f_1}\left(x\right)$ 无极值,不合题意.
当 $a < \dfrac{1}{3}$ 时,可得\[{a_1} = a,{a_2} = 1,{a_3} = 4,{a_4} = 12, \cdots ,\]故数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 不是等比数列.
综上所述,存在 $a$,使数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 是等比数列,且 $a$ 的取值范围为 $\left(\dfrac{4}{9}, + \infty \right)$.
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2