由题意得 $f'\left(x\right) = a - \dfrac{b}{x^2}$，则有\[{\begin{cases}
f\left(1\right) = a + b + c = 0 ,\\
f'\left(1\right) = a - b = 1 ,\\
\end{cases}}\]解得\[{\begin{cases}b = a - 1 ,\\
c = 1 - 2a. \\
\end{cases}}\]

由（1）知，$f\left(x\right) = ax + \dfrac{a - 1}{x} + 1 - 2a$，令\[\begin{split}g\left(x\right) = f\left(x\right) - \ln x = ax + \dfrac{a - 1}{x} + 1 - 2a - \ln x,x \in \left[ {1, + \infty } \right),\end{split}\]则 $g\left(1\right) = 0$，故\[\begin{split}g'\left(x\right) &= a - \dfrac{a - 1}{x^2} - \dfrac{1}{x} = \dfrac{{a{x^2} - x - \left(a - 1\right)}}{x^2} \\&= \dfrac{{a\left(x - 1\right)\left(x - \dfrac{1 - a}{a}\right)}}{x^2},\end{split}\]（i）当 $0 < a < \dfrac{1}{2}$ 时，$\dfrac{1 - a}{a} > 1$．
若 $1 < x < \dfrac{1 - a}{a}$，则 $g'\left(x\right) < 0$，$g\left(x\right)$ 是减函数，所以 $g\left(x\right) < g\left(1\right) = 0$，
即 $f\left(x\right) < \ln x$，故 $f\left(x\right) \geqslant \ln x$ 在 $\left[ {1, + \infty } \right)$ 上不恒成立．
（ii）当 $a \geqslant \dfrac{1}{2}$ 时，$\dfrac{1 - a}{a} \leqslant 1$．
若 $x>1 $，则 $g'\left(x\right)>0 $，$ g\left(x\right)$ 是增函数，所以 $ g\left(x\right)>g\left(1\right)=0$，
即 $f\left(x\right) > \ln x$，故当 $x \geqslant 1$ 时，$f\left(x\right) \geqslant \ln x$．
综上所述，所求 $ a$ 的取值范围为 $\left[\dfrac12,+\infty\right) $．

证法一：直接证明
由（2）知：当 $a \geqslant \dfrac{1}{2}$ 时，有\[f\left(x\right) \geqslant \ln x\left(x \geqslant 1\right).\]令 $a = \dfrac{1}{2}$，有\[f\left(x\right) = \dfrac{1}{2}\left(x - \dfrac{1}{x}\right) \geqslant \ln x\left(x \geqslant 1\right),\]当 $x > 1$ 时，有\[\dfrac{1}{2}\left(x - \dfrac{1}{x}\right) > \ln x.\]令 $x = \dfrac{k + 1}{k}$，有\[\begin{split}\ln \dfrac{k + 1}{k}& < \dfrac{1}{2}\left[ {\dfrac{k + 1}{k} - \dfrac{k}{k + 1}} \right] \\&= \dfrac{1}{2}\left[ {\left(1 + \dfrac{1}{k}\right) - \left(1 - \dfrac{1}{k + 1}\right)} \right],\end{split}\]即\[\ln \left(k + 1\right) - \ln k < \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{k} + \dfrac{1}{k + 1}\right),k = 1,2,3,\cdots n,\]将上述 $n$ 个不等式依次相加得\[\ln \left(n + 1\right) < \dfrac{1}{2} + \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \cdots + \dfrac{1}{n}\right) + \dfrac{1}{2\left(n + 1\right)},\]整理得\[1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} +\cdots + \dfrac{1}{n} > \ln \left(n + 1\right) + \dfrac{n}{2\left(n + 1\right)}.\]证法二：用数学归纳法证明
（i）当 $n = 1$ 时，左边 $ = 1$，右边 $ = \ln 2 + \dfrac{1}{4} < 1$，不等式成立．
（ii）假设 $n = k\left(k\geqslant1,k\in{\mathbb{N}}^*\right)$ 时，不等式成立，就是\[1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \cdots+ \dfrac{1}{k}> \ln \left(k + 1\right) + \dfrac{k}{2\left(k + 1\right)},\]那么\[\begin{split}1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \cdots+ \dfrac{1}{k} + \dfrac{1}{k + 1} &> \ln \left(k + 1\right) + \dfrac{k}{2\left(k + 1\right)} + \dfrac{1}{k + 1}\\& = \ln \left(k + 1\right) + \dfrac{k + 2}{2\left(k + 1\right)},\end{split}\]由（2）知：当 $a \geqslant \dfrac{1}{2}$ 时，有 $f\left(x\right) \geqslant \ln x\left(x \geqslant 1\right)$，
令 $a = \dfrac{1}{2}$，有\[f\left(x\right) = \dfrac{1}{2}\left(x - \dfrac{1}{x}\right) \geqslant \ln x\left(x \geqslant 1\right),\]令 $x = \dfrac{k + 2}{k + 1}$，得\[\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{k + 2}{k + 1} - \dfrac{k + 1}{k + 2}\right) \geqslant \ln \dfrac{k + 2}{k + 1} = \ln \left(k + 2\right) - \ln \left(k + 1\right),\]所以\[\ln \left(k + 1\right) + \dfrac{k + 2}{2\left(k + 1\right)} \geqslant \ln \left(k + 2\right) + \dfrac{k + 1}{2\left(k + 2\right)},\]所以\[1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \cdots + \dfrac{1}{k} + \dfrac{1}{k + 1} > \ln \left(k + 2\right) + \dfrac{k+1}{2\left(k + 2\right)}.\]就是说，当 $n = k + 1$ 时，不等式也成立．
根据（i）和（ii），可知不等式对任何 $n \in {\mathbb{N}}^*$ 都成立．