数列 $ \left\{a_{ n}\right\} $ 中，$ a_{ 1} =\dfrac 1 3 $，前 $ n $ 项和 $ S _{n } $ 满足 $S _{n+1 }-S _{n} = {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{n + 1}}$（$ n\in {\mathbb{N}} ^* $）．
【难度】
【出处】
2010年高考福建卷（文）
【标注】
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求数列 $ \left\{a_{ n}\right\} $ 的通项公式 $ a_{ n } $ 以及前 $ n $ 项和 $ S _{n} $；标注答案解析由\[S_{ n+1} -S _{n} ={\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{n + 1}},\]得\[{a_{n + 1}} = {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{n + 1}} \left(n\in {\mathbb{N}}^ *\right),\]又 ${a_1} = \dfrac{1}{3}$，故\[{a_n} = {\left(\dfrac{1}{3}\right)^n} \left(n\in {\mathbb{N}}^ *\right).\]从而\[{S_n} = \dfrac{{\dfrac{1}{3} \times \left[1 - {{\left(\dfrac{1}{3}\right)}^n}\right]}}{{1 - \dfrac{1}{3}}} = \dfrac{1}{2}\left[1 - {\left(\dfrac{1}{3}\right)^n}\right] \left(n\in {\mathbb{N}}^ *\right).\]
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若 $ S _{1} $，$ t\left(S _{1}+ S _{2}\right) $，$ 3\left(S _{2}+ S _{3}\right) $ 成等差数列，求实数 $ t $ 的值．标注答案解析由（1）可得\[{S_1} = \dfrac{1}{3} ,{S_2} = \dfrac{4}{9} , {S_3} = \dfrac{13}{27},\]从而由 $ S_ 1 $，$ t\left(S _1+ S_ 2\right) $，$ 3\left(S _2+ S_ 3\right) $ 成等差数列可得\[\dfrac{1}{3} + 3 \times \left(\dfrac{4}{9} + \dfrac{13}{27}\right) = 2 \times \left(\dfrac{1}{3} + \dfrac{4}{9}\right)t ,\]解得 $ t=2 $．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
