因为满足 $a - b = 3 ,a,b \in \left\{ 1,2,3, \cdots ,n\right\} ,a > b$ 的每一组解构成一个点 $P,$
所以\[{A_n} = n - 3.\]

设 $k$ 为正整数，记 ${f_n}\left(k\right)$ 为满足题设条件以及 $a - b = 3k$ 的点 $P$ 的个数，只要讨论 ${f_n}\left(k\right) \geqslant 1$ 的情形．
由\[1 \leqslant b = a - 3k \leqslant n - 3k\]知\[{f_n}\left(k\right) = n - 3k,\]且\[k \leqslant \dfrac{n - 1}{3},\]设 $n - 1 = 3m + r$，其中 $m \in {\mathbb{N}}^*$，$r \in \left\{ {0,1,2} \right\}$，则\[k \leqslant m,\]所以\[ \begin{split} {B_n}& = \sum\limits_{k = 1}^m {{f_n}\left(k\right)}\\& = \sum\limits_{k = 1}^m {\left(n - 3k\right)} \\&= mn - \dfrac{3m\left(m + 1\right)}{2}\\& = \dfrac{m\left(2n - 3m - 3\right)}{2},\end{split} \]将 $m = \dfrac{n - 1 - r}{3}$ 代入上式，化简得\[{B_n} = \dfrac{\left(n - 1\right)\left(n - 2\right)}{6} - \dfrac{r\left(r - 1\right)}{6},\]所以\[ {B_n} = {\begin{cases}\dfrac{n\left(n - 3\right)}{6},& \dfrac{n}{3}是整数, \\
\dfrac{\left(n - 1\right)\left(n - 2\right)}{6} , & \dfrac{n}{3}不是整数. \\
\end{cases}} \]