由 $ 2x + \dfrac{\mathrm \pi }{4} \ne \dfrac{\mathrm \pi }{2} + k{\mathrm \pi }$，$k \in {\mathbb{Z}} $，得\[ x \ne \frac{\mathrm \pi }{8} + \frac{{k{\mathrm \pi } }}{2},k \in {\mathbb{Z}} ,\]所以 $ f\left(x\right) $ 的定义域为 $ \left\{ x \in {\mathbb{R }}\left|\right.x \ne \dfrac{{\mathrm \pi } }{8} + \dfrac{{k{\mathrm \pi } }}{2},k \in {\mathbb{Z}}\right\} $，$ f\left(x\right) $ 的最小正周期为 $ \dfrac{{\mathrm \pi } }{2}$．

由 $ f\left(\dfrac{\alpha}{2}\right) = 2\cos 2\alpha $，得\[ \begin{split}\tan \left(\alpha + \frac{{\mathrm \pi } }{4}\right) &= 2\cos 2\alpha,\\
\frac{{\sin \left(\alpha + \dfrac{{\mathrm \pi } }{4}\right)}}{{\cos \left(\alpha + \dfrac{{\mathrm \pi } }{4}\right)}} &= 2\left(\cos ^2 \alpha - \sin ^2 \alpha\right),\end{split} \]整理得\[ \frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha} = 2\left(\cos \alpha + \sin \alpha\right)\left(\cos \alpha - \sin \alpha\right). \]因为 $ \alpha \in \left(0,\dfrac{{\mathrm \pi } }{4}\right) $，所以\[ \sin \alpha + \cos \alpha \ne 0. \]因此\[\left(\cos \alpha - \sin \alpha\right)^2 = \frac{1}{2}.\]即\[\sin 2\alpha = \frac{1}{2}.\]由 $\alpha \in \left(0,\dfrac{{\mathrm \pi } }{4}\right)$，得 $2\alpha \in \left(0,\dfrac{{\mathrm \pi } }{2}\right)$，所以 $2\alpha = \dfrac{{\mathrm \pi } }{6}$，即\[\alpha = \dfrac{{\mathrm \pi } }{12}.\]