题目 已经函数 $f\left(x\right) = \dfrac{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}}{2}$，$g\left(x\right) = \dfrac{1}{2}\sin 2x - \dfrac{1}{4}$． 问题1 函数 $f\left(x\right)$ 的图象可由函数 $g\left(x\right)$ 的图象经过怎样变化得出？ 答案1 解析1 因为\[\begin{split}f\left(x\right) &= \dfrac{1}{2}\cos 2x = \dfrac{1}{2}\sin \left(2x + \dfrac{{\mathrm{\pi }}}{2}\right) \\&= \dfrac{1}{2}\sin 2\left(x + \dfrac{{\mathrm{\pi }}}{4}\right),\end{split}\]所以要得到 $ f\left(x\right) $ 的图象只需要把 $ g\left(x\right) $ 的图象向左平移 $\dfrac{{\mathrm{\pi}} }{4}$ 个单位长度，<br/>再将所得的图象向上平移 $\dfrac{1}{4}$ 个单位长度即可． 备注1 问题2 求函数 $h\left(x\right) = f\left(x\right) - g\left(x\right)$ 的最小值，并求使用 $h\left(x\right)$ 取得最小值的 $x$ 的集合． 答案2 解析2 由题意知\[\begin{split}h\left(x\right) &= f\left(x\right) - g\left(x\right) \\&= \dfrac{1}{2}\cos 2x - \dfrac{1}{2}\sin 2x + \dfrac{1}{4} \\&= \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\cos \left(2x + \dfrac{{\mathrm{\pi }}}{4}\right) + \dfrac{1}{4}.\end{split}\]当 $2x+ \dfrac{{\mathrm{\pi}} }{4} =2k {\mathrm{\pi}} +\pi \left(k \in Z\right)$ 时，$ h\left(x\right) $ 取得最小值\[ - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{{1 - 2\sqrt 2 }}{4}.\]$ h\left(x\right) $ 取得最小值时，对应的 $ x $ 的集合为 $\left\{ {x \left| \right.x = k{\mathrm{\pi}} + \dfrac{{3{\mathrm{\pi }}}}{8},k \in {\mathbb{Z}}} \right\}$． 备注2