在 $\triangle ABC$ 中，角 $A$，$B$，$C$ 所对的边分别为 $a$，$b$，$c$．已知 $\sin A + \sin C = p\sin B\left( {p \in {\mathbb {R}}} \right)$，且 $ac = \dfrac{1}{4}{b^2}$．
【难度】
【出处】
2011年高考浙江卷（理）
【标注】
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当 $p = \dfrac{5}{4}$，$b = 1$ 时，求 $a$，$c$ 的值；标注答案${ \begin{cases}
a = 1 \\
c = \dfrac{1}{4} \\
\end{cases} } 或 { \begin{cases}a = \dfrac{1}{4}, \\
c = 1 .\\
\end{cases} }$解析由题设并利用正弦定理，得\[{ \begin{cases}
a + c = \dfrac{5}{4}, \\
ac = \dfrac{1}{4}, \\
\end{cases} }\]解得\[{ \begin{cases}a = 1 \\
c = \dfrac{1}{4} \\
\end{cases} } 或 { \begin{cases}a = \dfrac{1}{4}, \\
c = 1 .\\
\end{cases} }\] -
若角 $B$ 为锐角，求 $p$ 的取值范围．标注答案$\dfrac{\sqrt 6 }{2} < p < \sqrt 2$．解析由余弦定理\[ \begin{split}{b^2} & = {a^2} + {c^2} - 2ac \cdot \cos B \\& =
{\left( {a + c} \right)^2}-2ac - 2ac \cdot \cos B \\& = {p^2}{b^2} - \dfrac{1}{2}{b^2} - \dfrac{1}{2}{b^2}\cos B,\end{split} \]即\[{p^2} = \dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{2}\cos B,\]因为 $0 < \cos B < 1$，得\[{p^2} \in \left( {\dfrac{3}{2},2} \right),\]由题设知 $p > 0$，所以\[\dfrac{\sqrt 6 }{2} < p < \sqrt 2 .\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
