已知公差不为 $0$ 的等差数列 $ \left\{{a_n}\right\}$ 的首项 ${a_1}$ 为 $a\left( {a \in {\mathbb{R}}} \right)$，设数列的前 $n$ 项和为 ${S_n}$，且 $\dfrac{1}{a_1},\dfrac{1}{a_2},\dfrac{1}{a_4}$ 成等比数列．
【难度】
【出处】
2011年高考浙江卷（理）
【标注】
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求数列 $\left\{{a_n}\right\}$ 的通项公式及 ${S_n}$；标注答案解析设等差数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的公差为 $d$，由 $\left(\dfrac 1 {a_2} \right)^2 = {\dfrac 1 {a_1} } \cdot {\dfrac 1 {a_4} } ,$ 得 $\left({a_1}+d\right)^2 = {a_1}\left({a_1} + 3d\right)$，且 $ a\ne 0 $．
因为 $d \ne 0$，所以 $d={a_1}=a$．所以 ${a_n} = na $，${S_n} = \dfrac{an\left(n + 1\right)}{2}$． -
记 ${A_n} = \dfrac{1}{S_1} + \dfrac{1}{S_2} + \dfrac{1}{S_3} + \cdots + \dfrac{1}{S_n}$，${B_n} = \dfrac{1}{a_1} + \dfrac{1}{a_2} + \dfrac{1}{{{a_{2^2}}}} + \cdots + \dfrac{1}{{{a_{2^{n-1}}}}}$，当 $n \geqslant 2$ 时，试比较 ${A_n}$ 与 ${B_n}$ 的大小．标注答案解析因为 $\dfrac 1 {S_n} = {\dfrac 2 {a} }\left({\dfrac 1 n } -\dfrac {1} {n+1} \right)$，所以\[\begin{split}{A_n} &= \dfrac{1}{S_1} + \dfrac{1}{S_2} + \dfrac{1}{S_3} +\cdots + \dfrac{1}{S_n} \\& = \dfrac{2}{a}\left( {1 - \dfrac{1}{n + 1}} \right).\end{split}\]因为 ${a_{{2^{n - 1}}}} = {2^{n - 1}}a$，所以\[\begin{split}{B_n} & = \dfrac{1}{a_1} + \dfrac{1}{a_2} + \dfrac{1}{{{a_{2^2}}}} + \cdots + \dfrac{1}{{{a_{2^{n-1}}}}} \\& = \dfrac 1 a \cdot \dfrac{1-\left(\dfrac 1 2 \right)^n}{1-\dfrac 1 2 } \\&= \dfrac 2 a \left(1-\dfrac 1 {2^n} \right).\end{split}\]当 $n \geqslant 2$ 时，${2^n} = {\mathrm{C}}_n^0 + {\mathrm{C}}_n^1 + {\mathrm{C}}_n^2 + \cdots + {\mathrm{C}}_n^n > n + 1$，即 $ 1- \dfrac 1 {n+1} < 1 - \dfrac 1 {2^n} $．
所以，当 $a > 0$ 时，${A_n} < {B_n}$；当 $a < 0$ 时，${A_n} > {B_n}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
