最小正周期为 ${\mathrm \pi} $，最大值为 $ 2 $，最小值为 $ -1 $．

由 $f\left(x\right) = 2\sqrt 3 \sin x\cos x + 2{\cos ^2}x - 1$，得\[ \begin{split} f\left(x\right)& = \sqrt 3 \left(2\sin x\cos x\right) + \left(2{\cos ^2}x - 1\right) \\&= \sqrt 3 \sin 2x + \cos 2x = 2\sin \left(2x + \dfrac{\mathrm \pi} {6}\right) , \end{split} \]所以函数 $f\left(x\right)$ 的最小正周期为 ${\mathrm \pi} $．
因为 $f\left(x\right) = 2\sin \left( {2x + \dfrac{\mathrm \pi} {6}} \right)$ 在区间 $\left[ {0,\dfrac{\mathrm \pi} {6}} \right]$ 上为增函数，在区间 $\left[ {\dfrac{\mathrm \pi} {6},\dfrac{\mathrm \pi} {2}} \right]$ 上为减函数，又\[f\left(0\right) = 1,f\left( {\dfrac{\mathrm \pi} {6}} \right) = 2,f\left( {\dfrac{\mathrm \pi} {2}} \right) = - 1 ,\]所以函数 $f\left(x\right)$ 在区间 $\left[ {0,\dfrac{\mathrm \pi} {2}} \right]$ 上的最大值为 $ 2 $，最小值为 $ -1 $．

$\cos 2{x_0}= \dfrac{3 - 4\sqrt 3 }{10} $

由（1）可知\[f\left({x_0}\right) = 2\sin \left( {2{x_0} + \dfrac{\mathrm \pi} {6}} \right) .\]又因为 $f\left({x_0}\right) = \dfrac{6}{5}$，所以\[ \sin \left( {2{x_0} + \dfrac{\mathrm \pi} {6}} \right) = \dfrac{3}{5}.\]由 ${x_0} \in \left[ {\dfrac{\mathrm \pi} {4},\dfrac{\mathrm \pi} {2}} \right]$，得 $2{x_0} + \dfrac{\mathrm \pi} {6} \in \left[ {\dfrac{{2{\mathrm \pi} }}{3},\dfrac{{7{\mathrm \pi} }}{6}} \right]$，
从而\[ \cos \left( {2{x_0} + \dfrac{\mathrm \pi} {6}} \right) = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\left( {2{x_0} + \dfrac{\mathrm \pi} {6}} \right)} = - \dfrac{4}{5}, \]所以\[ \begin{split}\cos 2{x_0} & = \cos \left[ {\left( {2{x_0} + \dfrac{\mathrm \pi} {6}} \right) - \dfrac{\mathrm \pi} {6}} \right] \\&= \cos \left( {2{x_0} + \dfrac{\mathrm \pi} {6}} \right)\cos \dfrac{\mathrm \pi} {6} + \sin \left( {2{x_0} + \dfrac{\mathrm \pi} {6}} \right)\sin \dfrac{\mathrm \pi} {6} = \dfrac{3 - 4\sqrt 3 }{10} . \end{split} \]