已知数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的前 $n$ 项和为 ${S_n}$，且 ${S_n} = n - 5a{}_n - 85$，$n \in {{\mathbb{N}}^*}$
【难度】
【出处】
2010年高考上海卷（文）
【标注】
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证明：$\left\{ {{a_n} - 1} \right\}$ 是等比数列；标注答案解析由\[{{S}_{n}}=n-5{{a}_{n}}-85,n\in {{{\mathbb{N}}}^{*}}, \quad \cdots \cdots ① \]可得\[{{a}_{1}}={{S}_{1}}=1-5{{a}_{1}}-85,\]即\[{{a}_{1}}=-14.\]同时\[{{S}_{n+1}}=\left(n+1\right)-5{{a}_{n+1}}-85, \quad \cdots \cdots ② \]从而由 $ ② - ① $ 可得：\[{{a}_{n+1}}=1-5\left({{a}_{n+1}}-{{a}_{n}}\right),\]即\[{{a}_{n+1}}-1=\frac{5}{6}\left({{a}_{n}}-1\right),n\in {{{\mathbb{N}}}^{*}},\]从而 $\left\{{{a}_{n}}-1\right\}$ 是首项为 ${{a}_{1}}-1=-15$，公比为 $\dfrac{5}{6}$ 的等比数列．
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求数列 $\left\{ {S_n} \right\}$ 的通项公式，并求出使得 ${S_{n + 1}} > {S_n}$ 成立的最小正整数 $n$．标注答案解析由（1）可得 $a_n=1-15\left(\dfrac{5}{6}\right)^{n-1}$，所以\[S_n=n+75\cdot \left(\dfrac{5}{6}\right)^{n-1}-90,\]由 $S_{n+1}>S_n$，得\[n+1+75\cdot \left(\dfrac{5}{6}\right)^n-90>n+75\cdot \left(\dfrac{5}{6}\right)^{n-1}-90,\]即\[15\cdot\left(\dfrac{5}{6}\right)^n<1,\]解得\[n>\log_{\frac{5}{6}}\dfrac{1}{15} \approx 14.85.\]所以，使得 $S_{n+1}>S_n$ 成立的最小正整数 $n=15$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
