若实数 $x,y,m$ 满足 $\left. {\left| {x - m} \right.} \right| < \left| {y - \left. m \right|} \right.$，则称 $x$ 比 $y$ 接近 $m$．
【难度】
【出处】
2010年高考上海卷（文）
【标注】
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若 ${x^2} - 1$ 比 $3$ 接近 $0$，求 $x$ 的取值范围；标注答案解析根据题意得\[|x^2-1-0|<|3-0|,\]可以化为\[ 0\leqslant x^2<4,\]解得 $ x $ 的取值范围为 $-2<x<2$．
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对任意两个不相等的正数 $a,b$，证明：${a^2}b + a{b^2}$ 比 ${a^3} + {b^3}$ 接近 $2ab\sqrt {ab} $；标注答案解析因为 $ a,b$ 是不相等的正数，所以\[ a+b>2\sqrt {ab},\]由 $ ab>0$ 得\[ a^2b+ab^2>2ab\sqrt {ab}.\]又因为\[\begin{split}a^3+b^3-a^2b-ab^2 &=a^2\left(a-b\right)-b^2\left(a-b\right)\\&=\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2>0,\end{split}\]所以\[ a^3+b^3>a^2b+ab^2>2ab\sqrt {ab},\]从而\[ \begin{split}&|a^2b+ab^2-2ab\sqrt {ab}|-|a^3+b^3-2ab\sqrt {ab}|\\&=\left(a^2b+ab^2-2ab\sqrt {ab}\right)-\left(a^3+b^3-2ab\sqrt {ab}\right)\\&=a^2b+ab^2 -a^3-b^3\\&=-\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2<0,\end{split}\]因此\[ |a^2b+ab^2-2ab\sqrt {ab}|<|a^3+b^3-2ab\sqrt {ab}| ,\]故 $a^2b+ab^2$ 比 $a^3+b^3$ 更接近 $ 2ab\sqrt {ab}$．
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已知函数 $f\left(x\right)$ 的定义域 $D=\left\{ {\left. x \right|x \ne k\mathrm \pi ,k \in {\mathbb{Z}},x \in {\mathbb{R}}} \right\}$．任取 $x \in D$，$f\left(x\right)$ 等于 $1 + \sin x$ 和 $1 - \sin x$ 中接近 $0$ 的那个值．写出函数 $f\left(x\right)$ 的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）．标注答案解析根据新定义得\[ f\left(x\right)=\begin{cases}1+\sin x,x\in\left(2k{\mathrm \pi} -{\mathrm \pi} ,2k{\mathrm \pi} \right),k\in {\mathbb Z},\\1-\sin x,x\in\left(2k{\mathrm \pi} ,2k{\mathrm \pi} +{\mathrm \pi} \right),k\in {\mathbb Z},\end{cases}\]亦即\[ f\left(x\right)=1-|\sin x|,x\neq k{\mathrm \pi} ,k\in {\mathbb Z}.\]由此，$ f\left(x\right) $ 为偶函数，也是最小正周期为 $ {\mathrm \pi} $ 的周期函数，最小值为 $ 0 $，增区间、减区间分别是\[ \left[k{\mathrm \pi} -\dfrac {\mathrm \pi} 2,k{\mathrm \pi} \right)、\left(k{\mathrm \pi} ,k{\mathrm \pi} +\dfrac {\mathrm \pi} 2\right],k\in {\mathbb Z}. \]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
