$ f\left(x\right) $ 的定义域为 $\left(0,+\infty\right) $，对 $ f\left(x\right)$ 求导得\[\begin{split}
f'\left(x\right) &= - \frac{a}
{{x^2 }} + 1 + \frac{{a - 1}}
{x} \\&= \frac{{\left(x + a\right)\left(x - 1\right)}}
{{x^2 }},\end{split}\]1）若 $ -1<a<0 $，$ x、f'(x)、f(x)$ 的关系是：\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline
x & (0,-a) & -a & (-a,1) & 1&(1,+\infty) \\ \hline
f'(x) & + & 0 & - & 0 &+\\ \hline
f(x) &递增 & 极大值 & 递减 & 极小值 &递增\\ \hline
\end{array}所以 $f\left(x\right) $ 分别在 $ \left(0,-a \right)、\left(1, + \infty \right) $ 上单调递增，在 $\left(-a,1\right)$ 上单调递减．
2）若 $ a<-1 $，仿1）可得 $f\left(x\right) $ 分别在 $ \left(0,1 \right)、\left(-a, + \infty \right) $ 上单调递增，在 $\left(1,-a\right)$ 上单调递减．

存在 $ a $，使 $ g\left(x\right) $ 在 $ \left[a,-a\right] $ 上为减函数．
事实上，设\[h\left(x\right) = \left( - 2{x^3} + 3a{x^2} + 6ax - 4{a^2} - 6a\right){{\mathrm{e}}^x}\left(x \in {\mathbb{R}}\right),\]则\[h'\left(x\right) = \left[ - 2{x^3} + 3\left(a - 2\right){x^2} + 12ax - 4{a^2}\right]{{\mathrm{e}}^x}.\]再设\[m\left(x\right) = - 2{x^3} + 3\left(a - 2\right){x^2} + 12ax - 4{a^2}\left(x \in {\mathbb{R}}\right),\]$g\left(x\right)$ 在 $ \left[a,-a\right] $ 上是减函数，当且仅当 $h(x) $ 在 $ [a,1]$ 上为减函数，$ f(x)$ 在 $ [1,-a]$ 上为减函数，且\[h(1)\geqslant {\mathrm{e}}f(1).\]先考虑特殊情况，估计出 $ a$ 的一个大致范围：$h(x) $ 在 $ [a,1]$ 上为减函数，当然在 $ [a,0]$ 上为减函数，必有\[h'(a)\leqslant 0, \]即\[m(a)=a^2(a+2)\leqslant 0, \]解得\[ a\leqslant -2.\]而由（1）知，当 $a \leqslant - 2$ 时，$f\left(x\right)$ 在 $\left[ {1, - a} \right]$ 上是减函数．
$h\left(1\right) \geqslant {\mathrm{e}} \cdot f\left(1\right)$ 等价于\[4a^2 + 13a + 3 \leqslant 0,\]解得\[- 3 \leqslant a \leqslant - \frac{1}{4}. \cdots \cdots ① \]不难知道，$\forall x \in \left[ {a,1} \right],h'\left(x\right) \leqslant 0$ 等价于\[ {\forall x} \in \left[ {a,1} \right],m\left(x\right) \leqslant 0.\]因为\[\begin{split}m'\left(x\right) & = - 6{x^2} + 6\left(a - 2\right) + 12a \\& = - 6\left(x + 2\right)\left(x - a\right),\end{split}\]对 $a \leqslant - 2$ 分 $ a<-2$ 和 $ a=-2$ 讨论：
（i）$a < - 2$ 时，若 $a < x < - 2$，则\[m'\left(x\right) >0;\]若 $ - 2 < x < 1$，则\[m'\left(x\right) <0.\]因而 $m\left(x\right)$ 在 $\left(a, - 2\right)$ 上单调递增，在 $\left(-2,1\right)$ 上单调递减．
（ii）当 $ a＝-2 $ 时，\[m'\left(x\right) \leqslant 0,\]因而 $m\left(x\right) $ 在 $ \left(-2,1\right) $ 上单调递减．
综合（i）（ii）知，当 $a \leqslant - 2$ 时，$m\left(x\right)$ 在 $\left[ {a,1} \right]$ 上的最大值为\[m\left( - 2\right) = - 4{a^2} - 12a - 8,\]所以 $\forall x \in \left[ {a,1} \right],m\left( x \right) \leqslant 0$ 等价于\[m\left( { - 2} \right) = - 4{a^2} - 12a - 8 \leqslant 0,\]解得\[a \leqslant - 2. \cdots \cdots ② \]又 $x \in \left[ {a,1} \right],m\left(x\right) = 0$ 只有当 $a = - 2$ 时在 $ x=-2 $ 取得，
亦即 $h'\left(x\right) = 0$ 只有当 $a = - 2$ 时在 $ x=-2 $ 取得．
因此，当 $a \leqslant - 2$ 时，$h\left(x\right)$ 在 $\left[ {a,1} \right]$ 上是减函数．
从而由 $ ①② $ 知，\[ - 3 \leqslant a \leqslant 2.\]综上所述，存在 $a$，使 $g\left(x\right)$ 在 $\left[ {a, - a} \right]$ 上为减函数，且 $a$ 的取值范围为\[\left[ { - 3, - 2} \right].\]