已知公差不为 $0$ 的等差数列 $\left\{ {a_n}\right\} $ 的首项 $a_1$ 为 ${a}\left({a} \in \mathbb R\right)$，且 $\dfrac{1}{a_1},\dfrac{1}{a_2},\dfrac{1}{a_4}$ 成等比数列．
【难度】
【出处】
2011年高考浙江卷（文）
【标注】
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求数列 $\left\{ {a_n}\right\} $ 的通项公式；标注答案解析设等差数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的公差为 $d$，由\[{\left( {\dfrac{1}{{{a^{_2}}}}} \right)^2} = \dfrac{1}{a_1} \cdot \dfrac{1}{a_4} ,\]得\[{\left({a_1} + d\right)^2} = {a_1}\left({a_1} + 3d\right).\]从而 ${a_1}d = {d^2}$，因为 $d \ne 0$，所以 $d = {a_1} = {a_n}$，
故通项公式 ${a_n} = na$． -
对 $n \in {{\mathbb{N}} ^* }$，试比较 $\dfrac{1}{a_2} + \dfrac{1}{a_{2^2}} + \dfrac{1}{a_{2^3}} + \cdots+ \dfrac{1}{a_{2^n}}$ 与 $\dfrac{1}{a_1}$ 的大小．标注答案解析记 ${T_n} =\dfrac{1}{a_2} + \dfrac{1}{a_{2^2}} + \dfrac{1}{a_{2^3}} + \cdots+ \dfrac{1}{a_{2^n}}$，
因为 $a_{2^n} = {2^n}a$，所以\[\begin{split}{T_n}& = \dfrac{1}{a}\left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2^2} + \cdot+ \dfrac{1}{2^n}} \right) \\&= \dfrac{1}{a}.\dfrac{{\dfrac{1}{2}{{\left( {1 - \left( {\dfrac{1}{2}} \right)} \right)}^n}}}{{1 - \dfrac{1}{2}}} \\&= \dfrac{1}{a}\left[ {1 - {{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^n}} \right]\end{split} \]所以，当 $a > 0$ 时，${T_n} < \dfrac{1}{a_1}$；
当 $a < 0$ 时，${T_n} > \dfrac{1}{a_1}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
