设函数 $f\left(x\right) = \cos \left( {x + \dfrac{2}{3}{\mathrm \pi }} \right) + 2{\cos ^2}\dfrac{x}{2},x \in {\mathbb{R}}$．
【难度】
【出处】
2010年高考重庆卷（理）
【标注】
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求 $f\left(x\right)$ 的值域；标注答案解析\[\begin{split}f\left(x\right) &= \cos x\cos \frac{2}{3}{\mathrm \pi } - \sin x\sin \frac{2}{3}{\mathrm \pi } + \cos x + 1\\
&= -\frac{1}{2}\cos x - \frac{\sqrt 3 }{2}\sin x + \cos x + 1\\
&= \frac{1}{2}\cos x - \frac{\sqrt 3 }{2}\sin x + 1\\
&= \sin \left( {x + \frac{{5{\mathrm \pi }}}{6}} \right) + 1,\end{split}\]因此 $f\left(x\right)$ 的值域为 $\left[ {0,2} \right]$． -
记 $\triangle ABC$ 的内角 $A$，$B$，$C$ 的对边长分别为 $a$，$b$，$c$，若 $f\left(B\right) = 1$，$b = 1$，$c = \sqrt 3 $，求 $a$ 的值．标注答案解析由 $f\left(B\right) = 1$ 得\[\sin \left( {B + \frac{{5{\mathrm \pi }}}{6}} \right) + 1 = 1,\]即\[\sin \left( {B + \frac{{5{\mathrm \pi }}}{6}} \right) = 0.\]又因为 $0 < B < {\mathrm \pi }$，故\[B = \frac{\mathrm \pi }{6}.\]解法一：
由余弦定理\[{b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac\cos B,\]得\[{a^2} - 3a + 2 = 0,\]解得\[a = 1 或 2 .\]解法二：
由正弦定理\[\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C},\]得\[\sin C = \frac{\sqrt 3 }{2},\]所以\[C = \dfrac{\mathrm \pi }{3} 或 \dfrac{{2{\mathrm \pi }}}{3}.\]当 $C = \dfrac{\mathrm \pi }{3}$ 时，$A = \dfrac{\mathrm \pi }{2}$，从而\[a = \sqrt {{b^2} + {c^2}} = 2.\]当 $C = \dfrac{2}{3}{\mathrm \pi }$ 时，$A = \dfrac{\mathrm \pi }{6}$，又 $B = \dfrac{\mathrm \pi }{6}$，从而\[a = b = 1,\]故 $a$ 的值为 $ 1 $ 或 $ 2 $．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
