已知函数 $f\left( x \right) = 2\sin \left( {\dfrac{1}{3}x - \dfrac{{\mathrm{\pi }}}{6}} \right),x \in {\mathbb{R}}$．
【难度】
【出处】
2011年高考广东卷（理）
【标注】
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求 $f\left( {\dfrac{{5{\mathrm{\pi }}}}{4}} \right)$ 的值；标注答案解析\[f\left( {\dfrac{{5{\mathrm{\pi }}}}{4}} \right) = 2\sin \left( {\dfrac{{5{\mathrm{\pi }}}}{{12}} - \dfrac{{\mathrm{\pi }}}{6}} \right)= 2\sin \dfrac{{\mathrm{\pi }}}{4} = \sqrt 2 .\]
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设 $\alpha ,\beta \in \left[ {0,\dfrac{{\mathrm{\pi }}}{2}} \right]$，$f\left( {3\alpha + \dfrac{{\mathrm{\pi }}}{2}} \right) = \dfrac{{10}}{{13}}$，$f\left( {3\beta + 2{\mathrm{\pi }}} \right) = \dfrac{6}{5}$，求 $\cos \left( {\alpha + \beta } \right)$ 的值．标注答案解析\[f\left( {3\alpha + \dfrac{{\mathrm{\pi }}}{2}} \right) = 2\sin \alpha = \dfrac{{10}}{{13}}, \]所以\[ \sin \alpha = \dfrac{5}{{13}}, \]因为 $ \alpha \in \left[ {0,\dfrac{{\mathrm{\pi }}}{2}} \right]$，所以\[ \cos \alpha = \dfrac{{12}}{{13}};\]因为\[f\left( {3\beta + 2{\mathrm{\pi }}} \right) = 2\sin \left( {\beta + \dfrac{{\mathrm{\pi }}}{2}} \right)= 2\cos \beta= \dfrac{6}{5},\]所以\[\cos \beta = \dfrac{3}{5},\]因为 $\beta \in \left[ {0,\dfrac{{\mathrm{\pi }}}{2}} \right] $，所以\[\sin \beta = \dfrac{4}{5}.\]所以\[\begin{split}\cos \left( {\alpha + \beta } \right) &= \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \\ &= \dfrac{{12}}{{13}} \cdot \dfrac{3}{5} - \dfrac{5}{{13}} \cdot \dfrac{4}{5} \\ &= \dfrac{{16}}{{65}}.\end{split}\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
