已知复数 ${z_1}$ 满足 $\left({z_1} - 2\right)\left(1 + {\mathrm{i}}\right) = 1 - {\mathrm{i}}$（${\mathrm{i}}$ 为虚数单位），复数 ${z_2}$ 的虚部为 $ 2 $，且 ${z_1} \cdot {z_2}$ 是实数，求 ${z_2}$．
【难度】
【出处】
2011年高考上海卷（理）
【标注】
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标注答案解析由 $\left({z_1} - 2\right)\left(1 + {\mathrm{i}}\right) = 1 -{\mathrm{ i}}$ 得\[{z_1} - 2 = \dfrac{1-{\mathrm i}}{1+{\mathrm i}}=-{\mathrm i},\]所以\[\begin{split}{z_1} = 2 - {\mathrm{i}},\end{split}\]设 ${z_2} = a + 2{\mathrm{i}}$，$a \in {\mathbb{R}}$，则\[\begin{split}{z_1}{z_2} = \left(2 - {\mathrm{i}}\right)\left(a + 2{\mathrm{i}}\right) = \left(2a + 2\right) + \left(4 - a\right){\mathrm{i}},\end{split}\]因为 ${z_1}{z_2} \in {\mathbb{R}}$，所以 $4 - a = 0$，$a = 4$，\[{z_2} = 4 + 2{\mathrm{i}}.\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
