题目 已知函数 $f\left(x\right) = a \cdot {2^x} + b \cdot {3^x}$，其中常数 $a$，$b$ 满足 $a \cdot b \ne 0$． 问题1 若 $a \cdot b > 0$，判断函数 $f\left(x\right)$ 的单调性； 答案1 当 $a > 0$，$b > 0$ 时，函数 $f\left(x\right)$ 在 ${\mathbb {R}}$ 上是增函数；当 $a < 0$，$b < 0$ 时，函数 $f\left(x\right)$ 在 ${\mathbb {R}}$ 上是减函数． 解析1 当 $a > 0$，$b > 0$ 时，任取 ${x_1},{x_2} \in {\mathbb {R}}$，${x_1} < {x_2}$，则\[f\left({x_1}\right) - f\left({x_2}\right) = a\left( {{2^{x_1}} - {2^{x_2}}} \right) + b\left( {{3^{x_1}} - {3^{x_2}}} \right).\]因为 ${2^{x_1}} < {2^{x_2}}$，$a > 0$，所以\[a\left( {{2^{x_1}} - {2^{x_2}}} \right) < 0,\]因为 ${3^{x_1}} < {3^{x_2}}$，$b > 0$，所以\[b\left( {{3^{x_1}} - {3^{x_2}}} \right) < 0,\]所以\[f\left({x_1}\right) - f\left({x_2}\right) < 0,\]函数 $f\left(x\right)$ 在 ${\mathbb {R}}$ 上是增函数．<br/>当 $a < 0$，$b < 0$ 时，同理，函数 $f\left(x\right)$ 在 ${\mathbb {R}}$ 上是减函数． 备注1 问题2 若 $a \cdot b < 0$，求 $f\left(x + 1\right) > f\left(x\right)$ 时的 $x$ 的取值范围． 答案2 当 $a < 0$，$b > 0$ 时，$ x > {\log _{1.5}}\left( { - \dfrac{a}{2b}} \right) $；当 $a > 0$，$b < 0$ 时，$ x < {\log _{1.5}}\left( { - \dfrac{a}{2b}} \right) $． 解析2 \[f\left(x + 1\right) - f\left(x\right) = a \cdot {2^x} + 2b \cdot {3^x} > 0.\]当 $a < 0$，$b > 0$ 时，\[{\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^x} > - \dfrac{a}{2b},\]则\[x > {\log _{1.5}}\left( { - \dfrac{a}{2b}} \right);\]当 $a > 0$，$b < 0$ 时，\[{\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^x} < - \dfrac{a}{2b},\]则\[x < {\log _{1.5}}\left( { - \dfrac{a}{2b}} \right).\] 备注2