设 $a \in {\mathbb{R}}$，$f\left( x \right) = \cos x\left( {a\sin x - \cos x} \right) + {\cos ^2}\left( {\dfrac{\mathrm \pi }{2} - x} \right)$ 满足 $f\left( { - \dfrac{\mathrm \pi }{3}} \right) = f\left( 0 \right)$，求函数 $f\left( x \right)$ 在 $\left[ {\dfrac{\mathrm \pi }{4},\dfrac{{11{\mathrm \pi }}}{24}} \right]$ 上的最大值和最小值．
【难度】
【出处】
2011年高考重庆卷（理）
【标注】
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标注答案解析$f\left( x \right) = a\sin x\cos x - {\cos ^2}x + {\sin ^2}x= \dfrac{a}{2}\sin 2x - \cos 2x$．
由 $f\left( { - \dfrac{\mathrm \pi }{3}} \right) = f\left( 0 \right)$，得\[ - \dfrac{\sqrt 3 }{2} \cdot \dfrac{a}{2} + \dfrac{1}{2} = - 1,\]解得\[a = 2\sqrt 3 .\]因此\[f\left( x \right) = \sqrt 3 \sin 2x - \cos 2x = 2\sin \left( {2x - \dfrac{\mathrm \pi }{6}} \right).\]当 $x \in \left[ {\dfrac{\mathrm \pi }{4},\dfrac{\mathrm \pi }{3}} \right]$ 时，$2x - \dfrac{\mathrm \pi }{6} \in \left[ {\dfrac{\mathrm \pi }{3},\dfrac{\mathrm \pi }{2}} \right] $，$f\left( x \right)$ 为增函数，
当 $x \in \left[ {\dfrac{\mathrm \pi }{3},\dfrac{{11{\mathrm \pi }}}{24}} \right]$ 时，$2x - \dfrac{\mathrm \pi }{6} \in \left[ {\dfrac{\mathrm \pi }{2},\dfrac{{3{\mathrm \pi }}}{4}} \right] $，$f\left( x \right)$ 为减函数．
所以 $f\left( x \right)$ 在 $\left[ {\dfrac{\mathrm \pi }{4},\dfrac{{11{\mathrm \pi }}}{24}} \right]$ 上的最大值为 $f\left( {\dfrac{\mathrm \pi }{3}} \right) = 2 $．
又因\[f\left( {\dfrac{\mathrm \pi }{4}} \right) = \sqrt 3 , f\left( {\dfrac{{11{\mathrm \pi }}}{24}} \right) = \sqrt 2 ,\]故 $f\left( x \right)$ 在 $\left[ {\dfrac{\mathrm \pi }{4},\dfrac{{11{\mathrm \pi }}}{24}} \right]$ 上的最小值为 $f\left( {\dfrac{{11{\mathrm \pi }}}{24}} \right) = \sqrt 2 $．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
