因为 $f\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + 1$，所以\[f'\left( x \right) = 3{x^2} + 2ax + b.\]令 $x = 1$，得 $f'\left( 1 \right) = 3 + 2a + b$，由已知 $f'\left( 1 \right) = 2a$，因此\[3 + 2a + b = 2a,\]解得 $b = - 3$．又令 $x = 2$，得\[f'\left( 2 \right) = 12 + 4a + b,\]由已知 $f'\left( 2 \right) = - b$，因此\[12 + 4a + b = - b.\]解得 $a = - \dfrac{3}{2}$．因此\[f\left( x \right) = {x^3} - \dfrac{3}{2}{x^2} - 3x + 1.\]从而 $f\left( 1 \right) = - \dfrac{5}{2}$．又因为\[f'\left( 1 \right) = 2 \times \left( { - \dfrac{3}{2}} \right) = - 3,\]故曲线 $y = f\left( x \right)$ 在点 $\left( {1,f\left( 1 \right)} \right)$ 处的切线方程为\[y - \left( { - \dfrac{5}{2}} \right) = - 3\left( {x - 1} \right),\]即\[6x + 2y - 1 = 0.\]

由（1）知\[g\left( x \right) = \left( {3{x^2} - 3x - 3} \right){{\mathrm{e}}^{ - x}},\]从而有\[g'\left( x \right) = \left( { - 3{x^2} + 9x} \right){{\mathrm{e}}^{ - x}}.\]令 $g'\left( x \right) = 0$，得 $ - 3{x^2} + 9x = 0$，解得 ${x_1} = 0 , {x_2} = 3$．
当 $x \in \left( { - \infty ,0} \right)$ 时，$g'\left( x \right) < 0$，故 $g\left( x \right)$ 在 $\left( { - \infty ,0} \right]$ 上为减函数；
当 $x \in \left( {0,3} \right)$ 时，$g'\left( x \right) > 0$，故 $g\left( x \right)$ 在 $\left( {0, 3} \right)$ 上为增函数；
当 $x \in \left( {3, + \infty } \right)$ 时，$g'\left( x \right) < 0$，故 $g\left( x \right)$ 在 $\left( {3, + \infty } \right)$ 上为减函数；
从而函数 $g\left( x \right)$ 在 ${x_1} = 0$ 处取得极小值\[g\left( 0 \right) = - 3,\]在 ${x_2} = 3$ 处取得极大值\[g\left( 3 \right) = 15{{\mathrm{e}}^{ - 3}}.\]