已知函数 $f\left(x\right) = {x^3} + 3a{x^2} + \left(3 - 6a\right)x{ + }12a - 4\left( {a \in {\mathbb{R}}} \right)$．
【难度】
【出处】
2011年高考大纲全国卷（文）
【标注】
-
证明：曲线 $y = f\left(x\right)$ 在 $x = 0$ 处的切线过点 $\left(2,2\right)$；标注答案解析\[f'\left(x\right) = 3{x^2} + 6ax + 3 - 6a.\]由\[\begin{split}f\left(0\right) &= 12a - 4,\\
f'\left(0\right) &= 3 - 6a,\end{split}\]得曲线 $y = f\left(x\right)$ 在 $x = 0$ 处的切线方程为\[y = \left(3 - 6a\right)x + 12a - 4,\]将 $\left(2,2\right)$ 代入直线方程成立，
由此知曲线 $y = f\left(x\right)$ 在 $x = 0$ 处的切线过点 $\left(2,2\right)$． -
若 $f\left(x\right)$ 在 $x = {x_0}$ 处取得极小值，${x_0} \in \left(1,3\right)$，求 $a$ 的取值范围．标注答案解析由 $f'\left(x\right) = 0$ 得\[{x^2} + 2ax + 1 - 2a = 0.\]① 当 $ - \sqrt 2 - 1 \leqslant a \leqslant \sqrt 2 - 1$ 时，$f\left(x\right)$ 没有极小值；
② 当 $a > \sqrt 2 - 1$ 或 $a < - \sqrt 2 - 1$ 时，
由 $f'\left(x\right) = 0$ 得\[\begin{split}{x_1} &= - a - \sqrt {{a^2} + 2a - 1} ,\\
{x_2} &= - a + \sqrt {{a^2} + 2a - 1},\end{split} \]故\[{x_0} = {x_2}.\]由题设知\[1 < - a + \sqrt {{a^2} + 2a - 1} < 3,\]当 $a > \sqrt 2 - 1$ 时，不等式 $1 < - a + \sqrt {{a^2} + 2a - 1} < 3$ 无解；
当 $a < - \sqrt 2 - 1$ 时，解不等式\[1 < - a + \sqrt {{a^2} + 2a - 1} < 3\]得\[ - \frac{5}{2} < a < - \sqrt 2 - 1.\]综合 ①② 得 $a$ 的取值范围是 $\left( { - \dfrac{5}{2}, - \sqrt 2 - 1} \right)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
