\[\begin{split} f\left(x\right) &= {\sin ^2}\omega x - {\cos ^2}\omega x + 2\sqrt 3 \sin \omega x\cdot \cos \omega x + \lambda\\&= - \cos 2\omega x + \sqrt 3 \sin 2\omega x + \lambda \\&= 2\sin \left(2\omega x - \dfrac{\mathrm \pi }{6}\right) + \lambda.\end{split}\]由直线 $x = {\mathrm \pi }$ 是 $y = f\left(x\right)$ 图象的一条对称轴，可得\[ \sin \left(2\omega {\mathrm \pi } - \dfrac{\mathrm \pi }{6}\right) = \pm 1.\]所以\[ 2\omega {\mathrm \pi } - \dfrac{\mathrm \pi }{6} = kx + \dfrac{\mathrm \pi }{2}\left(k \in \mathbb Z\right),\]即\[ \omega = \dfrac{k}{2} +\dfrac{1}{3}\left(k \in \mathbb Z\right). \]又 $\omega \in \left(\dfrac{1}{2},1\right)$，$k \in \mathbb Z$，所以 $k = 1$，故 $\omega = \dfrac{5}{6}$．
所以 $f\left(x\right)$ 的最小正周期是 $\dfrac{{6{\mathrm \pi }}}{5}$．

由 $y = f\left(x\right)$ 的图象过点 $\left(\dfrac{\mathrm \pi }{4},0\right)$，得 $f\left(\dfrac{\mathrm \pi }{4}\right) = 0$，即\[\begin{split}\lambda&= - 2\sin \left(\dfrac{5}{6} \times \dfrac{\mathrm \pi }{2} - \dfrac{\mathrm \pi }{6}\right) \\&= - 2\sin \dfrac{\mathrm \pi }{4} \\&= - \sqrt 2, \end{split}\]故\[ f\left(x\right) = 2\sin \left(\dfrac{5}{3}x - \dfrac{\mathrm \pi }{6}\right) - \sqrt 2 , \]函数 $f\left(x\right)$ 的值域为\[\left[- 2 - \sqrt 2 ,2 - \sqrt 2\right]. \]