题目 设 $\left\{ {a_n} \right\}$ 是公比为正数的等比数列，${a_1} = 2$，${a_3} = {a_2} + 4$． 问题1 求 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的通项公式； 答案1 $ {a_n} = {2^n}\left( {n \in {\mathbb{N}}^*} \right) $． 解析1 设 $q$ 为等比数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的公比，则由\[{a_1} = 2,{a_3} = {a_2} + 4,\]得\[2{q^2} = 2q + 4,\]即\[{q^2} - q - 2 = 0,\]解得\[q = 2 或 q = - 1 \left(舍去\right),\]因此\[q = 2.\]所以 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的通项公式为\[{a_n} = 2 \cdot {2^{n - 1}} = {2^n}\left( {n \in {\mathbb{N}}^*} \right).\] 备注1 问题2 设 $\left\{ {b_n} \right\}$ 是首项为 $ 1 $，公差为 $ 2 $ 的等差数列，求数列 $\left\{ {{a_n} + {b_n}} \right\}$ 的前 $n$ 项和 ${S_n}$． 答案2 $S_n={2^{n + 1}} + {n^2} - 2 $ 解析2 \[\begin{split}{S_n} &= \frac{{2\left( {1 - {2^n}} \right)}}{1 - 2} + n \times 1 + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} \times 2 \\&= {2^{n + 1}} + {n^2} - 2.\end{split}\] 备注2