由题意得\[f'\left(x\right) = 3a{x^2} + 2x + b.\]因此\[ \begin{split}g\left(x\right) &= f\left(x\right) + f'\left(x\right) \\&= a{x^3} + \left(3a + 1\right){x^2} + \left(b + 2\right)x + b.\end{split}\]因为函数 $g\left(x\right)$ 是奇函数，所以\[g\left( - x\right) = - g\left(x\right),\]即对任意实数 $x$，有\[a{\left( - x\right)^3} + \left(3a + 1\right){\left( - x\right)^2} + \left(b + 2\right)\left( - x\right) + b = - \left[a{x^3} + \left(3a + 1\right){x^2} + \left(b + 2\right)x + b\right].\]从而\[3a + 1 = 0,b = 0,\]解得\[a = - \dfrac{1}{3},b = 0,\]因此 $f\left(x\right)$ 的解析表达式为\[f\left(x\right) = - \dfrac{1}{3}{x^3} + {x^2}.\]

由（1）知\[g\left(x\right) = - \dfrac{1}{3}{x^3} + 2x,\]所以\[g'\left(x\right) = - {x^2} + 2,\]令 $g'\left(x\right) = 0$，解得\[{x_1} = - \sqrt 2 , {x_2} = \sqrt 2 .\]则当 $x < - \sqrt 2 $ 或 $x > \sqrt 2 $ 时，\[g'\left(x\right) < 0,\]从而 $g\left(x\right)$ 在区间 $\left( { - \infty , - \sqrt 2 } \right]$，$\left[ {\sqrt 2 , + \infty } \right)$ 上是减函数；当 $ - \sqrt 2 < x < \sqrt 2 $ 时，\[g'\left(x\right) > 0,\]从而 $g\left(x\right)$ 在区间 $\left[ { - \sqrt 2 ,\sqrt 2 } \right]$ 上是增函数．
由前面讨论知，$g\left(x\right)$ 在区间 $\left[1,2\right]$ 上的最大值与最小值只能在 $x = 1,\sqrt 2 , 2 $ 时取得，
而\[\begin{split}g\left(1\right) & = \dfrac{5}{3}, \\ g\left( {\sqrt 2 } \right) & = \dfrac{4\sqrt 2 }{3} , \\ g\left(2\right) & = \dfrac{4}{3}.\end{split}\]因此 $g\left(x\right)$ 在区间 $\left[1,2\right]$ 上的最大值为\[g\left( {\sqrt 2 } \right) = \dfrac{4\sqrt 2 }{3},\]最小值为\[g\left(2\right) = \dfrac{4}{3}.\]